ボソン演算子を用いた水素原子束縛状態の波動関数の表示

リー代数 Laplace-Runge-Lenzベクトル シュレディンガー方程式 水素様原子 量子力学 SO(4) ボソン演算子

以前の記事
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ではボソン演算子を用いてSU(2)のユニタリ表現を構築できることを紹介した。
ボソン演算子を用いてリー代数su(2)の元を表示することが出来ることも示した。

本記事では、ボソン生成演算子を用いたSU(2)のユニタリ表現の応用例として、水素原子の束縛状態の波動関数の表示できることを示す。

記事の構成は以下のようになっている。

  1. so(4)解法のおさらい
  2. ボソン演算子を用いた波動関数の表示

おさらいについては
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とほぼ同内容（記号が多少異なる）である。

ボソン演算子と水素原子の波動関数.pdf - Google ドライブ


まとめと今後の展望

本記事ではボソン生成演算子を用いたSU(2)のユニタリ表現の応用例として、水素原子の束縛状態の波動関数の表示できることを示した。

ボソン演算子を導入することによる恩恵は、異なるエネルギーの波動関数間を変換する演算子を作れることである。
そのような演算子を見ていくとリー群SO(4,2)が登場することが「発見」できる。
この群は力学的群（dynamical group）と呼ばれ、力学的対称性（dynamical symmetry）を記述する群SO(4)では記述できなかった、各エネルギー状態間の状態遷移を記述する演算子を対応するリー代数の元として自然に含むリー群である。
次回記事は力学群SO(4,2)の「発見」について記す予定である。

もう一つ興味深い数理物理的構造として、水素原子と四次元調和振動子の対応関係がある。
水素原子も四次元の調和振動子もその束縛状態を四種類のボソン生成演算子を用いて表示できる。
この関係性に着目して水素原子の問題を四次元の調和振動子の問題に置き換えることができる。
この置き換えの数学的手続きをKustaanheimo-Stiefel変換と呼ぶが、この変換は水素原子の問題を経路積分で解く際に用いられたり、一般コヒーレント状態という量子状態を構成するのに用いられたりする。
このあたりの話題も多くの数学的準備の記事と合わせて、書いていきたいと考えている。

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Overleafでの日本語LaTeX

TeX クラウド Overleaf

クラウド上でLaTeXを行うことには、コンピュータ上にTeXコンパイルやエディタの環境を整える必要が無い、共同で執筆できる、等の利点がある。
今まで私はクラウド上でLaTeXを行ったことはなかったのだが、色々と捗りそうなのでやってみることにした。

主なものには
www.sharelatex.com
www.overleaf.com
cloudlatex.io
などがあるが、いずれも日本語対応している。

すべて登録してみたのだが、少し調べてみてOverleafを使ってみようと思った。
利点や欠点がそれぞれいろいろありそうだあるが、選んだ理由はコンパイルが早そうだったことである。
この記事ではOverleafでのLaTeXテストということで、テスト文書の紹介を行う。
日本語対応させる上で参考にしたサイトは
doratex.hatenablog.jp
である。
TeX Wiki中の様々な記事にもお世話になった。


Overleaf上でLaTeXコンパイルを行い、

  • 日本語で書かれ、
  • しおりやタイトルが日本語で文字化けせずに出力されており（自分のMacPC上でという制限はつけるが）、
  • 20ptで書かれ、
  • geometry.styを用いて余白が適当に調整された、
  • pdfが作られる

ということを目標とした。

作業一覧

Overleafならではの作業を記す。

Sign UpとSign In

f:id:ito-yuto:20161211134808p:plain
Sign Upは簡単にできる。
たとえばTwitterのアカウントがあれば、アプリの連携によりユーザー登録可能である。
Sign Inも簡単である。
Twitterとの連携によってSign Upした場合はSIGN IN WITH TWITTERを押せば良い。

プロジェクトの作成

まずプロジェクトを作成する。
f:id:ito-yuto:20161211130236p:plain
f:id:ito-yuto:20161211130326p:plain
Overleaf上で用意されたテンプレートを元に作成することも出来るし、自分で作った既存のプロジェクトを元に作成することも可能である。

(u)platex+dvipdfmxの場合の処理

参考にしたOverleaf で日本語を使用する方法 - TeX Alchemist Onlineによれば、latexmkrcというコマンド命令の型を記したファイルが必要であるとのことである。

pdfファイルのダウンロード

コンパイルがうまくいったらの話であるが、その場合pdfを作ることが可能な状態になっているはずである。
その場合ソースの在処を知っていれば、誰でも（アカウントを持っていない人でも）そのソースからpdfをクラウド上で作成しダウンロードすることが可能となる。
f:id:ito-yuto:20161211134441p:plain
上の図はあえてSign Outしてからソースの在処にアクセスしたところである。
上の方にあるPDFマークを押せば作成される。

テスト結果

日本語pdf出力に対応したコマンド処理五種類（XeLaTeX、LuaLaTeX、pdfLaTeX、pLaTeX+dvipdfmx、upLaTeX+dvipdfmx） × LaTeXドキュメントクラス二種類（article系とjsarticle系）で計10種類を試した。
いずれの結果もテスト目標を達している。

jsarticle系
テスト - uplatex dvipdfmx jsarticle - Overleaf
テスト - platex dvipdfmx jsarticle - Overleaf
テスト - XeLaTeX bxjsarticle - Overleaf
テスト - pdflatex bxjsarticle - Overleaf
テスト - LuaLaTeX ltjsarticle - Overleaf

article系（元々が日本語用途ではないので読みにくい場合もある。）
テスト - platex dvipdfm extarticle - Overleaf
テスト - uplatex dvipdfmx extarticle - Overleaf
テスト- pdflatex extarticle - Overleaf
テスト - XeLaTeX extarticle - Overleaf
テスト - LuaLaTeX extarticle - Overleaf

感想

それぞれの違いについてはよくわかっていないのだが、感想や気付いたことだけ簡単に述べる。

  • article系は読みづらい。ちなみに20ptで書くにはdocumeyclassにextarticleを設定する必要がある。
  • luaLaTeX はコンパイルが遅い。出来るpdfのサイズが大きい。
  • pdfLaTeX はコンパイルが遅くはないが、lulatexについで出来るpdfのサイズが大きい。
  • XeLaTeXは少しフォントが異なる。（とくにフォントを指定していないとき）"さ"が特徴的。
  • XeLaTeXはコンパイルが遅くなく、pdfのサイズはそれほど大きくない。dviを経由していないもの（uplatex、platex以外）の中では最も小さかった。
  • uplatexとplatexの違いはよくわからなかった。uplatexの方がpdfサイズが若干小さく、何かが違うらしい。

SU(2)群とsu(2)代数の表現論（その３）〜 ボソン演算子の導入 〜

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ではSU(2)群の既約ユニタリ表現を紹介した。
そこでは複素係数二変数斉次多項式空間がSU(2)の表現により既約分解されること、各次数の部分空間が既約部分空間なっていること、がわかった。

本記事は各部分空間を結びつける演算子＝ボソン演算子を導入することを目的としている。
このようなボソン演算子を導入することは、Jordan-Schwingerのbosonaization（ボソン化）と呼ばれる。
ボソン演算子の成す代数は一般にHeisenberg代数と呼ばれる。

記事の構成は以下のようになっている。

  1. SU(2)群の既約ユニタリ表現に関するおさらい
  2. ボソン演算子の構成

本記事を書くにあたり、B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics"を主に参考にした。

SU(2) 群とsu(2) 代数の表現論(その3).pdf - Google ドライブ


まとめ

本記事では、二つのボソン生成演算子を用いることでSU(2)のユニタリ表現を表わせること、を紹介した。
ボソン生成演算子の実態は、(例えば)多項式中の変数であるz1とz2のことである。
すべてのユニタリ表現が生成演算子により表示できるのは、定数関数に変数z1やz2を掛け算して線形結合をとって行くと各次数の斉次多項式を生成できる、という多項式環的には当たり前の事実に対応している。

二次元調和振動子との関係性についても触れておこう。
二次元の調和振動子の問題も同様にボソン演算子二つを用いて考えることができる。
(むしろボソン演算子が出てくる例で思いつきやすいのはこちらかもしれない。)
二次元調和振動子とSU(2)のユニタリ表現には似た代数構造が仕込まれているということである。

今後の展望

今回導入したようなボソン生成演算子を用いたSU(2)のユニタリ表現の応用例として、水素原子の全束縛状態の表現がある。
これについて取り扱う記事を準備している。

一方、水素の束縛状態を生成演算子により構成する過程で、リー群SO(4,2)が登場することが「発見」できる。
この群は力学的群（dynamical group）と呼ばれ、力学的対称性（dynamical symmetry）を記述する群SO(4)では記述できなかった、各エネルギー状態間の状態遷移を記述する演算子を対応するリー代数の元として自然に含むリー群である。
こちらについても記事を準備している。

もう一つ興味深い数理物理的構造として、水素原子と四次元調和振動子の対応関係がある。
水素原子も四次元の調和振動子もその束縛状態を四種類のボソン生成演算子を用いて表示できる。
この関係性に着目して水素原子の問題を四次元の調和振動子の問題に置き換えることができる。
この置き換えの数学的手続きをKustaanheimo-Stiefel変換と呼ぶが、この変換は水素原子の問題を経路積分で解く際に用いられたり、一般コヒーレント状態という量子状態を構成するのに用いられたりする。
このあたりの話題も多くの数学的準備の記事と合わせて、書いていきたいと考えている。

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SO(4)群とso(4)代数の表現論（その３）〜 WignerのD行列を用いた四次元球面調和関数の表示 〜

SO(4) リー群 表現論 調和解析 関数解析 球面調和関数 超球面 ラプラシアン 特殊関数

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では同じ次数の四次元球面調和関数がなす空間がSO(4)の表現空間としては既約であることをリー代数を用いて示した。

高次元の球面調和関数については
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でも議論しており、高次元球面上の自乗可積分関数が対応する次元の球面調和関数で展開できることを述べている。(フーリエ展開の拡張に相当する)

さらに
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では球面調和関数の一種である帯球関数をGegenbauer多項式を用いて表している。

本記事ではアプローチを変えて、
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で導入したWignerのD行列を用いて正規直交基底をなす四次元球面調和関数を構成する、ということを行う。
WignerのD行列はSU(2)の既約ユニタリ表現の行列表示であるが、これを{\textstyle S^3}上の関数と見なすとSchurの直交性から各行列要素が直交することが示される。
各行列要素は既約表現関数あるいは単純表現関数と呼ばれ、これらの線形結合がなす関数全体(同じ既約表現に属する球面調和関数全体である)は表現関数と呼ばれる。

本記事は以下の構成になっている。

  1. コンパクト位相群におけるSchurの直交性
  2. SU(2)とWignerのD行列に関すること
  3. WignerのD行列の各成分が四次元球面調和関数になっており各成分が直交すること

本記事を書くにあたりM. Bander and C. Itzyksonの論文とトロント大学講義ノート(Fiona Murnaghaさん)を参考にした。（コンパクト位相群については後者、WignerのD行列から正規直交する四次元球面調和関数を構成するところは前者を参考にした。）

SO(4) 群とso(4) 代数の表現論(その3).pdf - Google ドライブ


今後の展望

テンソル積を用いた表現との関係はいずれ議論したい。
今回紹介した結果の背後にあるPeter-Weyl定理についてもいずれ触れたい。
位相群に関する事項もいずれまとめる。

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群の表現論（その２）〜 Schurの補題と有限群に対するSchurの直交性 〜

表現論 群論 有限群

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で群の表現論に関する定義といくつかの定理を紹介した。
有限次元表現ユニタリ表現が完全可約（半単純）であるというところまで書いている。

本記事では既約表現に関する重要な定理である、Schurの補題と有限群の有限次元表現に対して成立するSchurの直交性を紹介する。
Schurの直交性は大直交定理とも呼ばれ、既約表現の指標表を作成したりする際に便利である。
指標表は分子や結晶の対称性を調べるときに役立つものである。

本記事の構成はトロント大学の講義ノート(Fiona Murnaghaさん)を参考にしたが、論理を補強するために環上の加群に関する本を参考にした。

群の表現論(その2).pdf - Google ドライブ


今後の展望

実はシューアの直交性に相当するものが、コンパクト位相群の有限次元表現についても成立する。
続編としてはコンパクト位相群自体に関する記事、およびコンパクト位相群に対する表現論に関する記事を予定している。

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