2017-09-10

共形変換代数so(4,2)

Minkowski空間 ${\mathbb{R}^{1,3}}$ におけるMaxwell方程式はLorentz対称性に加えて共形対称性（conformal symmetry）をもつ。
本記事では共形対称性に対応する共形変換代数 ${ so(4,2) }$ について紹介する。

表記について
ミンコフスキー距離を保つ微小な線形座標変換
狭義Lorentz変換とリー代数
並進演算子
Poincaré対称性とリー代数
Minkowski距離が0の場合にこれを保つ微小線形変換
伸長演算子
反転演算子
伸長演算子と反転演算子の関係
特殊共形変換演算子
共形変換代数
コメント
リファレンス

表記について

以下の議論ではEinsteinの縮約が使われる。
テンソルの上付き添え字は反変成分に、下付き添え字は共変成分に対応する。
ここで計量テンソル ${\eta}$ を導入したが、これを行列として表示した場合に

${ \begin{eqnarray} \eta &=& \begin{pmatrix} {-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &=& \mathrm{diag}(-1,1,1,1) \end{eqnarray} }$

となるように定義している。時間成分は第0成分、空間成分は第1,2,3成分とする。

また反変ベクトルに対して、 ${x^2}$ は ${x^\mu x_\mu=\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu}$ を表すものとする。

ミンコフスキー距離を保つ微小な線形座標変換

微小な線形座標変換

${ \begin{eqnarray} dx'^\nu = \Lambda^\nu{}_\mu dx^\mu = (\delta^\nu{}_\mu+L^\nu{}_\mu )dx^\mu \end{eqnarray} }$

について考える。
微小座標変換がミンコフスキー距離 ${\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}$ を保つとは、

${ \begin{eqnarray} \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = \eta_{\mu\nu}dx'^\mu dx'^\nu = \eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\sigma dx^\rho dx^\sigma \end{eqnarray} }$

が ${O(L)}$ の範囲で成立することを言う。
このとき、右辺において ${O(L^2)}$ となる項を無視すると、

${ \begin{eqnarray} \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu &=& \eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\sigma dx^\rho dx^\sigma \\ &=& (\eta_{\rho\sigma} + \eta_{\rho\nu}L^\nu{}_\sigma + \eta_{\mu\sigma}L^\mu{}_\rho ) dx^\rho dx^\sigma \end{eqnarray} }$

が成立する。
すなわち、

${ \begin{eqnarray} &=& (L_{\rho\sigma} + L_{\sigma\rho} )dx^\rho dx^\sigma = 0 \end{eqnarray} }$

が成立し、 ${L}$ が反対称テンソルであることすなわち、

${ L_{\rho\sigma} + L_{\sigma\rho} =0 }$

を要請する。
ミンコフスキー距離を保つ微小な線形変換は、Minkowski空間における狭義回転すなわち狭義Lorentz変換に対応する。

狭義Lorentz変換とリー代数 ${so(3,1)\simeq sl(2, \mathbb{C})}$

狭義回転演算子を ${ L}$ としたとき、これに期待される役割は ${O(L)}$ の範囲で反対称テンソル ${L^\rho{}_\mu }$ を用いて

${ \begin{eqnarray} e^{-\mathrm{i}L} x^\rho e^{\mathrm{i} L} = (\delta^\rho{}_\mu + L^\rho{}_\mu) x^\mu \end{eqnarray} }$

と書けること、すなわち反対称テンソル ${L^\rho{}_\mu }$ を用いて

${ \begin{eqnarray} [ L , x^\rho ]= \mathrm{i}L^\rho{}_\mu x^\mu \end{eqnarray} }$

と書けることである。
このとき、 ${ L}$ は、

${ \begin{eqnarray} L &=& \mathrm{i} x^\mu L^\nu{}_\mu\frac{\partial}{\partial x^\nu} \\ &=& \mathrm{i} x_\mu L^{\nu\mu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}\\ &=& {-}\mathrm{i} x_\mu L^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^\nu} \end{eqnarray} }$

と書ける。
ここで、狭義回転演算子

${ \begin{eqnarray} {M}_{\mu\nu} &=& {-} \mathrm{i}\eta_{\mu\alpha}x^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\nu} {+} \mathrm{i}\eta_{\nu\alpha}x^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\mu} \\ &=& {-} \mathrm{i}x_\mu\frac{\partial}{\partial x^\nu} {+} \mathrm{i}x_\nu\frac{\partial}{\partial x^\mu} \end{eqnarray} }$

を導入すると、

${ \begin{eqnarray} L &=& {-}\mathrm{i} x_\mu L^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}\\ &=& \frac12 L^{\mu\nu} \left( {-}\mathrm{i} x_\mu\frac{\partial}{\partial x^\nu} {+}\mathrm{i} x_\nu \frac{\partial}{\partial x^\mu} \right) \\ &=& \frac12 L^{\mu\nu} M_{\mu\nu} \end{eqnarray} }$

が成立する。

ここで、 ${M_{\mu\nu}}$ 同士の交換関係をリーブラケットと解釈すると、これらの演算子はリー代数 ${so(3,1)\simeq sl(2, \mathbb{C})}$ をなすことがわかる。
すなわち、

${ \begin{eqnarray} [ M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma} ] = \mathrm{i} \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} {-} \mathrm{i} \eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} {-} \mathrm{i} \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} {+} \mathrm{i} \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho} \end{eqnarray} }$

が成立する。
また、 ${M_{\mu\nu}} \ \ (\mu<\nu)$ は基底をなし、リー代数の次元は6であることもわかる。

並進演算子

Minkowski 空間は並進対称性をもつ。
並進演算子を ${ P}$ としたとき、これに期待される役割は ${O(\epsilon)}$ の範囲で

${ \begin{eqnarray} e^{-\mathrm{i}P} x^\rho e^{\mathrm{i} P} = x^\rho + \epsilon^\rho \end{eqnarray} }$

と書けること、すなわち

${ \begin{eqnarray} [ P , x^\rho ]= \mathrm{i} \epsilon^\rho \end{eqnarray} }$

と書けることである。
このとき、 ${ P}$ は、

${ \begin{eqnarray} P &=& \mathrm{i} \epsilon^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} \end{eqnarray} }$

と書ける。
ここで、並進演算子

${ \begin{eqnarray} {P}_{\mu} &=& \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial x^\mu} \end{eqnarray} }$

を導入すると、

${ \begin{eqnarray} P &=& \epsilon^\mu P_\mu \end{eqnarray} }$

と書ける。
明らかに

${ \begin{eqnarray} \left[P_\mu,P_\nu \right] = 0 \end{eqnarray} }$

である。

Poincaré対称性とリー代数 ${iso(3,1)}$

並進演算子と狭義Lorentz変換演算子がなす代数はPoincaré代数と呼ばれ、Minkowski空間の対称性であるPoincaré対称性を記述する。
両演算子の間では交換関係

${ \begin{eqnarray} \left[M_{\mu\nu},P_\rho \right] = \mathrm{i}\eta_{\mu\rho}P_\nu - \mathrm{i}\eta_{\nu\rho}P_\mu \end{eqnarray} }$

が成立する。
Poincaré代数はリー代数としては ${iso(3,1)}$ と同型である。

Minkowski距離が0の場合にこれを保つ微小線形変換

再び微小な線形座標変換

${ \begin{eqnarray} dx'^\nu = \Lambda^\nu{}_\mu dx^\mu = (\delta^\nu{}_\mu+L^\nu{}_\mu )dx^\mu \end{eqnarray} }$

について考える。
微小座標変換がミンコフスキー距離 ${\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu=0}$ を保つとは、

${ \begin{eqnarray} \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = \eta_{\mu\nu}dx'^\mu dx'^\nu = \eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\sigma dx^\rho dx^\sigma =0 \end{eqnarray} }$

が ${O(L)}$ の範囲で成立することを言う。
このとき、狭義Lorentz変換に対応する微小線形変換に限らず、

${ L_{\rho\sigma} \propto \eta_{\rho\sigma} }$

のときも成立する。
これは計量を定数倍するものであり、スケール変換あるいは伸長変換（dilation）に対応するものである。

伸長演算子

座標を ${(1+\epsilon)}$ 倍する伸長演算子を ${ D(1+\epsilon)}$ としたとき、これに期待される役割は ${O(\epsilon)}$ の範囲で

${ \begin{eqnarray} e^{-\mathrm{i}D(1+\epsilon)} x^\rho e^{\mathrm{i} D(1+\epsilon)} = (1+\epsilon) x^\rho \end{eqnarray} }$

と書けること、すなわち

${ \begin{eqnarray} [ D(1+\epsilon) , x^\rho ]= \mathrm{i} \epsilon x^\rho \end{eqnarray} }$

と書けることである。
すなわち、伸長演算子

${ \begin{eqnarray} D =\mathrm{i} x^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu} \end{eqnarray} }$

を導入して、

${ \begin{eqnarray} D(1+\epsilon) = \epsilon D \end{eqnarray} }$

と書ける。
伸長演算子とPoincaré代数を合わせたリー代数においては、次の交換関係が成立する。

${ \begin{eqnarray} [ D , M_{\mu\nu} ] =0 \end{eqnarray} }$

${ \begin{eqnarray} [ D , P_{\mu} ] = -\mathrm{i}P_\mu \end{eqnarray} }$

このリー代数はスケール不変性を保つ理論について議論する際に必要となる。

反転演算子

反転変換（inversion）あるいは反転演算子という概念を導入する。
共形対称性を保つ理論を考える際には必須となる演算子である。
離散変換

${ I : x^\nu \mapsto \frac{x^\nu}{x^2} }$

を反転変換と呼び、対応する演算子を反転演算子と呼ぶ。
反転演算子は

${ \begin{eqnarray} I^2 = 1 \end{eqnarray} }$

となる性質を持つ。
また、 ${y=Ix}$ とした時に座標変換のヤコビアンは

${ \begin{eqnarray} \frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu} = \frac{1}{x^2}\left( \delta^\nu_\mu - \frac{2x^\nu x_\mu}{x^2}\right) \end{eqnarray} }$

である。

伸長演算子と反転演算子の関係

次の式が成立する。

${ \begin{eqnarray} IDI = -D \end{eqnarray} }$

この式は、 ${y=Ix}$ とした時に、

${ \begin{eqnarray} DIf(x) &=& \mathrm{i}x^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} f(y)\\ &=& \mathrm{i}x^\mu \frac{\partial f}{\partial y^\nu}(y) \frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu}\\ &=& \mathrm{i}x^\mu \frac{\partial f}{\partial y^\nu}(y) \frac{1}{x^2}\left( \delta^\nu_\mu - \frac{2x^\nu x_\mu}{x^2}\right)\\ &=& {-} \mathrm{i} \frac{\partial f}{\partial y^\nu}(y) \frac{x^\nu}{x^2}\\ &=& {-} \mathrm{i} \frac{\partial f}{\partial y^\nu}(y) y^\nu \end{eqnarray} }$

が成立し、

${ \begin{eqnarray} IDIf(x) &=& {-} \mathrm{i} I(y^\nu \frac{\partial f}{\partial y^\nu}(y)) \\ &=& {-} \mathrm{i} x^\nu \frac{\partial f}{\partial x^\nu}(x)\\ &=& {-}Df(x) \end{eqnarray} }$

となる。二つ目の等号では ${Iy=x}$ を用いている。

特殊共形変換演算子

反転演算子 ${I}$ は原点の変換について特異的な性質を持っており、扱いやすいものではない。
ところが ${K_\mu = IP_\mu I}$ のような演算子を考えると、これは特異性を持たない。
この演算子を特殊共形変換演算子と呼ぶ。
この演算子を求めよう。
まず、

${ \begin{eqnarray} P_\mu If(x) &=& \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial x^\mu} f(y)\\ &=& \mathrm{i} \frac{\partial f}{\partial y^\nu}(y) \frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu}\\ &=& \mathrm{i} \frac{\partial f}{\partial y^\nu}(y) \frac{1}{x^2}\left( \delta^\nu_\mu - \frac{2x^\nu x_\mu}{x^2}\right) \\ &=& \mathrm{i} \frac{\partial f}{\partial y^\nu}(y) \frac{1}{x^2}\left( \delta^\nu_\mu - 2y^\nu x_\mu\right) \\ \end{eqnarray} }$

となる。
ここで ${ Ix^2 = \frac{1}{x^2}}$ を用いると、

${ \begin{eqnarray} IP_\mu If(x) &=& \mathrm{i} \frac{\partial f}{\partial x^\nu}(x) x^2\left( \delta^\nu_\mu - 2x^\nu y_\mu\right) \\ &=& \mathrm{i} \frac{\partial f}{\partial x^\nu}(x) \left(x^2 \delta^\nu_\mu - 2x^\nu x_\mu\right) \end{eqnarray} }$

となる。
すなわち、

${ \begin{eqnarray} K_\mu = \mathrm{i} \left(x^2 \delta^\nu_\mu - 2x^\nu x_\mu\right) \frac{\partial }{\partial x^\nu} \end{eqnarray} }$

となる。

共形変換代数 ${ so(4,2) }$

Poincaré代数の各演算子と伸長演算子と特殊共形変換演算子がなす代数を共形変換代数という。
次の交換関係が成立する。

${ \begin{eqnarray} [ D, K_\mu ] = \mathrm{i} K_\mu \end{eqnarray} }$

${ \begin{eqnarray} [ K_\mu, K_\nu ] = 0 \end{eqnarray} }$

${ \begin{eqnarray} [ P_\mu, K_\nu ] = -2\mathrm{i}M_{\mu\nu} - 2\mathrm{i}\eta_{\mu\nu}D \end{eqnarray} }$

${ \begin{eqnarray} [ M_{\mu\nu}, K_\rho ] = \mathrm{i}\eta_{\mu\rho}K_\nu - \mathrm{i}\eta_{\nu\rho}K_\mu \end{eqnarray} }$

共形変換代数はリー代数としては ${ so(4,2) }$ と同型であるが、それを見通しよくするために、 ${ 0 \le \mu,\nu \le 3}$ として、

${ \begin{eqnarray} M_{4\ -1} &:=& D\\ M_{\mu\ -1} &:=& \frac{1}{2}(K_\mu+P_\mu) \\ M_{\mu\ 4} &:=& \frac{1}{2}(K_\mu-P_\mu) \end{eqnarray} }$

を導入する。
これを用いると、 ${M_{\mu\nu} \ \ (-1 \le \mu < \nu \le 4) }$ は共形変換代数の基底をなすことがわかる。（次元は15）
そして、元の計量テンソルを拡張した新たな6次元の計量テンソル ${\eta}$ を導入する。

${ \begin{eqnarray} \eta &=& \begin{pmatrix} {-}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &=& \mathrm{diag}(-1,-1,1,1,1,1) \end{eqnarray} }$

負の符号をもつ第（−1）成分と、正の符号をもつ第4成分が加わったことになる。
この計量テンソルを用いると、交換関係は

のように統一的に書かれることがわかる。
すなわち共形変換代数がリー代数としては ${ so(4,2) }$ と同型であることが明確となった。

共形変換代数は任意の次元のEuclid空間 ${\mathbb{R}^{n}}$ やLorentz空間 ${\mathbb{R}^{p,q}}$ に一般化できる。
すなわち、今回紹介したMinkowski空間 ${\mathbb{R}^{1,3}}$ と同様の手法で共形変換代数を構成できる。
Euclid空間 ${\mathbb{R}^{n}}$ の場合は共形変換代数は、 ${ so(n+1,1) }$ となり、Lorentz空間 ${\mathbb{R}^{p,q}}$ の場合は共形変換代数は、 ${ so(p+1,q+1) }$ となる。

リファレンス

Conformal symmetry - Wikipedia
Conformal group - Wikipedia

2017-07-02

非相対論的水素原子の束縛状態スペクトルを経路積分により求める方法〜Duru-Kleinert変換〜

水素様原子経路積分

数回に分けて、水素様原子に対する（非相対論的）束縛状態エネルギースペクトル
${\displaystyle E_n = - \frac{1}{2n^2}\frac{m_e}{\hbar^2}\left(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \right)^2 }$
を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。

本記事では第八弾の経路積分を用いた方法を紹介する。
Schrödinger方程式のグリーン関数を経路積分によって計算するのだが、その際にDuru-Kleinert変換を用いることを特徴とする。
特に Grosche, C. (1993). An introduction into the Feynman path integral. arXiv preprint hep-th/9302097. を参考にした。

以下にノートを貼り付ける。
水素原子の経路積分.pdf - Google ドライブ

今後の展望

SO(4,2)代数構造との関連性、水素原子のコヒーレント状態について書く。

リファレンス

ラゲール多項式やラゲール陪多項式のプロット

SageMath ラゲール多項式

ラゲール多項式やラゲール陪多項式をSageMath（jupyter notebookバージョン）でプロットしてみた。
これらの定義はリファレンスや関連記事に詳しい。

SageMathにおいてラゲール多項式自体はここにあるように定義されているのだが、あえて
合流型超幾何関数を用いて定義した。

170507_Laguerre functions.pdf - Google ドライブ

SageMathについて

SageMathは内部でLaTeXを使えるので、グラフ中に数式を書いたりするのに大変便利である。
SageMath の jupyter notebook バージョンはインタラクティブに操作できるので便利である。
SageMath では数式から LaTeX のコードを生成することが可能である。

リファレンス

M. Abramowitz and I. A. Stegun: "Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables", (1964) National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55. http://www.amazon.co.jp/Handbook-Mathematical-Functions-Formulas-Mathematics/dp/0486612724
G. B. Arfken, H. J. Weber: "Mathematical Methods For Physicists", 6th edition (2005), ELSEVIER. http://www.amazon.co.jp/Mathematical-Methods-Physicists-Seventh-Edition/dp/0123846544
N. N. Lebedev: "Special Functions & Their Applications", translated and edited by R. A. Silverman , (1965), Prentice-Hall, INC. http://www.amazon.co.jp/Special-Functions-Applications-Mathematics/dp/0486606244
L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC. http://www.amazon.co.jp/Quantum-Mechanics-Pure-Applied-Physics/dp/0070552878
Laguerre polynomials - Wikipedia
Classical orthogonal polynomials - Wikipedia
Orthogonal polynomials - Wikipedia

2017-05-07

エルミート多項式をラゲール関数で書く。

ラゲール多項式ラゲール関数エルミート多項式直交多項式特殊関数合流型超幾何関数

エルミート（Hermite）多項式をラゲール（Laguerre）関数で書き換える、ということを行う。

合流型超幾何関数を用いたラゲール関数の定義
エルミート多項式の定義と諸性質
エルミート多項式をラゲール関数で書く。
エルミート多項式の第一種合流型超幾何関数による表示
リファレンス
関連記事

合流型超幾何関数を用いたラゲール関数の定義

この記事においてラゲール関数はラゲール陪多項式に出てくる指数を非整数に拡張したものを意味するものとする。
指数が非整数となるラゲール関数はもはや多項式にはならないので、以前紹介した母関数やロドリゲス表示によって定義することは叶わない。
定義としては第一種合流型超幾何関数（例えばこちらを参照）を採用するのが良いと考えられる。（上記のラゲールの陪微分方程式を満たすことが示される）
すなわち、

${ \begin{align} L^k_n(x) = \frac{(k+1)_n}{n!} M(-n,k+1;x) \end{align} }$

で定義される。（ここでは ${n}$ は自然数で ${k}$ は非整数でも良い。ただし ${n}$ を非整数とするさらなる拡張も可能である。）
ここで第一種合流型超幾何関数は、

${ \begin{align} M(a,b,x) = \sum_{l=0}^\infty \frac{(a)_l}{(b)_l} \frac{x^l}{l!} \end{align} }$

で定義される。（ ${ {}_1 F_1 (a;b;x) }$ と書くこともある。）
しばしば出てくるポッホハマー記号 ${ (a)_n}$ は特殊関数の文脈では

${ \begin{align} (a)_n = \prod_{l=0}^{n-1}(a+l)=a\cdot(a+1)\cdots (a+n-1) \end{align} }$

で定義される。（組み合わせ論の文脈では異なる定義となっているので注意。）

このとき、ラゲール関数はラゲールの陪微分方程式

${ \begin{align} x\frac{d^2L_n^k}{dx^2}+(k+1-x)\frac{dL_n^k}{dx}+nL_n^k(x)=0 \end{align} }$

の解となっていることがわかる。

エルミート多項式の定義と諸性質

エルミート多項式をここでは母関数を用いて定義する。
すなわち、

${ \begin{align} g(x,t) = e^{-t^2+2tx} = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac{t^n}{n!} \end{align} }$

でエルミート多項式たち ${H_n(x)}$ を定義する。

このとき、 ${g(x,t)}$ を ${n}$ 回 ${t}$ 微分して ${t=0}$ を代入することにより、ロドリゲス表示

${ \begin{align} H_n(x) = (-1)^{n}e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} \end{align} }$

を得る。

また、 ${g(x,t)}$ を ${x}$ 微分することにより関係式

${ \begin{align} H_{n}'(x) = 2nH_{n-1}(x) \end{align} }$

を得る。

さらに、 ${g(x,t)}$ を ${t}$ 微分することにより関係式

${ \begin{align} H_{n+1}(x) = -2nH_{n-1}(x) + 2xH_n(x) \end{align} }$

を得る。

上の二つの関係式を合わせることにより、エルミートの微分方程式

${ \begin{align} H_n''(x) - 2x H_n'(x) + 2n H_n(x) = 0 \end{align} }$

を得る。

エルミート多項式をラゲール関数で書く。

まず、 ${x\ge0}$ とする。
${x^2=t}$ の変数変換を行うと、 ${\frac{d}{dx} = 2t^{\frac12}\frac{d}{dt} }$ 、 ${\frac{d^2}{dx^2} = 2\frac{d}{dt} + 4t\frac{d^2}{dt^2} }$ となることから、エルミートの微分方程式は

${ t \frac{d^2}{dt^2} H_n + \left( \frac12 - t \right) \frac{d}{dt}H_n + \frac{n}{2} H_n = 0 }$

となる。

また、 ${ H_n(x) = xT_n(x^2) }$ と置いて同様に ${x^2=t}$ の変数変換を行うと、

${ t \frac{d^2}{dt^2} T_n + \left( \frac32 - t \right) \frac{d}{dt}T_n + \frac{n-1}{2} T_n = 0 }$

となる。

ラゲールの陪微分方程式と見比べると、偶数次のエルミート多項式については一つ目の変数変換微分方程式を参照することにより、

${ H_{2n}(x) \propto L^{-\frac12}_n (x^2) }$

となることがわかる。
奇数次のエルミート多項式については二つ目の変数変換微分方程式を参照することにより、

${ H_{2n+1}(x) \propto xL^{\frac12}_n (x^2) }$

となることがわかる。
エルミート多項式の偶奇性より、 ${x\ge0}$ でも同じ表式であることがわかる。

エルミート多項式の第一種合流型超幾何関数による表示

ラゲール陪多項式の第一種合流型超幾何関数による表示と見比べることで、エルミート多項式も第一種合流型超幾何関数を用いて表示することができる

偶数次については

${ H_{2n}(x) = (-1)^n \frac{(2n)!}{n!} M\left(-n,\frac12 ,x^2\right) }$

となり、奇数次については

${ H_{2n+1}(x) = (-1)^n \frac{2(2n+1)!}{n!} x\ M\left(-n,\frac32 ,x^2\right) }$

となる。

リファレンス

M. Abramowitz and I. A. Stegun: "Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables", (1964) National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55. Amazon CAPTCHA
G. B. Arfken, H. J. Weber: "Mathematical Methods For Physicists", 6th edition (2005), ELSEVIER. Amazon.co.jp： Mathematical Methods for Physicists, Seventh Edition: A Comprehensive Guide: George B. Arfken, Hans J. Weber, Frank E. Harris: 洋書
N. N. Lebedev: "Special Functions & Their Applications", translated and edited by R. A. Silverman , (1965), Prentice-Hall, INC. Amazon CAPTCHA
L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC. Amazon.co.jp： Quantum Mechanics (Pure & Applied Physics): L. I. Schiff: 洋書
Laguerre polynomials - Wikipedia
Classical orthogonal polynomials - Wikipedia
Orthogonal polynomials - Wikipedia
Hermite polynomials - Wikipedia
Confluent hypergeometric function - Wikipedia
Coulomb wave function - Wikipedia
Hypergeometric Functions — Sage Reference Manual v7.6: Functions
Confluent Hypergeometric Function of the First Kind -- from Wolfram MathWorld
Maxima 5.40.0 Manual: 15. Special Functions
Pochhammer Symbol -- from Wolfram MathWorld
Falling and rising factorials - Wikipedia
ポッホハマー記号 - Wikipedia

2017-05-06

Kustaanheimo-Stiefel 変換（その３）〜非相対論的水素原子Schrödinger方程式を解く〜

ラゲール多項式中心力ポテンシャル水素様原子量子力学シュレディンガー方程式 Kustaanheimo-Stiefel変換

いくつかの記事で水素原子やケプラー問題を四次元調和振動子の問題に変換するKustaanheimo-Stiefel (KS) 変換について紹介していく予定である。
第三弾である本記事ではKS変換によって導出された固有方程式を実際に解く、ということを行う。

はじめに
ノート
まとめと今後の展望
リファレンス
関連記事

はじめに

本記事では非相対論的水素原子のSchrödinger方程式をKustaanheimo-Stiefel変換によって四次元空間中の調和振動子の量子力学的問題に書き換えた方程式を実際に解く。本記事を書くにあたりCornish, F. H. J. (1984)を参考にしている。

ノート

ノートの構成は

前ノートのおさらい
変数分離の実行
二階微分方程式の解法
波動関数とエネルギー

となっている。
以下にノートを貼り付ける。
KS変換（その３）.pdf - Google ドライブ

まとめと今後の展望

本記事では非相対論的水素原子のSchrödinger方程式をKustaanheimo-Stiefel変換によって四次元空間中の調和振動子の量子力学的問題に書き換えた方程式を実際に解く、ということを行った。
波動関数の表示が放物線座標表示の解と等価であることがわかった。
続く記事では1)KS変換におけるLRLベクトルの役割、2)ボソン消滅演算子を用いた表示との関係性、を紹介したいと考えている。

リファレンス

Levi-Civita 変換の元論文

Levi-Civita, T. (1920). Sur la régularisation du probleme des trois corps. Acta mathematica, 42(1), 99-144./pdfはこちら

Kustaanheimo-Stiefel 変換の元論文

Kustaanheimo, P., & Stiefel, E. (1965). Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization. J. Math. Bd, 218, 27.

古典力学におけるKS変換を四元数で書いたもの

Saha, P. (2009). Interpreting the Kustaanheimo–Stiefel transform in gravitational dynamics. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 400(1), 228-231./PDFはこちら

Schrödinger方程式の変換について

Feynmanの経路積分表示に関して

Weyl-Wigner-Moyal形式の表示に関して

Jordan-WignerのBoson化を利用した波動関数の表示に関して

表記について

ミンコフスキー距離を保つ微小な線形座標変換

狭義Lorentz変換とリー代数

並進演算子

Poincaré対称性とリー代数

Minkowski距離が0の場合にこれを保つ微小線形変換

伸長演算子

反転演算子

伸長演算子と反転演算子の関係

特殊共形変換演算子

共形変換代数

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今後の展望

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主に参考にした論文

Kustaanheimo-Stiefel (KS)変換の元論文は

クーロンポテンシャルのプロパゲータについては

経路積分とプロパゲータの一般的な話については

経路積分による水素原子プロパゲータ計算については

SageMathについて

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まとめと今後の展望

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