adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

水素様原子に対するKlein-Gordon方程式

非相対論的水素(様)原子については様々な解法があり、その豊富な解法には隠れた数理構造があることはこのブログで多数紹介している。 例えばレビュー記事としてまとめている。 【レビュー】非相対論的水素原子Schrödinger方程式における力学的対称性 - adh…

共形変換代数so(4,2)

Minkowski空間 におけるMaxwell方程式はLorentz対称性に加えて共形対称性(conformal symmetry)をもつ。 本記事では共形対称性に対応する共形変換代数 について紹介する。 表記について ミンコフスキー距離を保つ微小な線形座標変換 狭義Lorentz変換とリー…

非相対論的水素原子の束縛状態スペクトルを経路積分により求める方法 〜Duru-Kleinert変換〜

数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。 E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる) W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法 su(1,1)代数を用い…

ラゲール多項式やラゲール陪多項式のプロット

ラゲール多項式やラゲール陪多項式をSageMath(jupyter notebookバージョン)でプロットしてみた。 これらの定義はリファレンスや関連記事に詳しい。SageMathにおいてラゲール多項式自体はここにあるように定義されているのだが、あえて 合流型超幾何関数を…

エルミート多項式をラゲール関数で書く。

エルミート(Hermite)多項式をラゲール(Laguerre)関数で書き換える、ということを行う。 合流型超幾何関数を用いたラゲール関数の定義 エルミート多項式の定義と諸性質 エルミート多項式をラゲール関数で書く。 エルミート多項式の第一種合流型超幾何関数…

Kustaanheimo-Stiefel 変換(その3)〜非相対論的水素原子Schrödinger方程式を解く〜

いくつかの記事で水素原子やケプラー問題を四次元調和振動子の問題に変換するKustaanheimo-Stiefel (KS) 変換について紹介していく予定である。 第三弾である本記事ではKS変換によって導出された固有方程式を実際に解く、ということを行う。 はじめに ノート…

Kustaanheimo-Stiefel 変換(その2)〜非相対論的水素原子Schrödinger方程式の書き換え〜

いくつかの記事で水素原子やケプラー問題を四次元調和振動子の問題に変換するKustaanheimo-Stiefel (KS) 変換について紹介していく予定である。 第二弾である本記事では非相対論的水素原子のSchrödinger方程式をKS変換により書き換えるということを行う。 は…

Kustaanheimo-Stiefel 変換(その1)〜概要〜

いくつかの記事で水素原子やケプラー問題を四次元調和振動子の問題に変換するKustaanheimo-Stiefel (KS) 変換について紹介していく予定である。 第一弾である本記事では KS 変換の概要を紹介する。 KS変換の二次元版 KS変換の登場 KS変換の発展と応用 KS変換…

臨界減衰とジョルダン標準形

ノートを参照。 リファレンス 減衰振動 - Wikipedia ジョルダン標準形 - Wikipedia

剛体球の自由回転運動のシュレディンガー方程式における力学的対称性

本記事では剛体球の自由回転運動のシュレディンガー方程式における力学的対称性について紹介する。 はじめに 水素原子の力学的対称性については、 adhara.hatenadiary.jp 等で詳しく紹介してきた。 そこではハミルトニアンが元々の空間の対称性よりも大きな…

cloudlatexとoverleafの比較

以前の記事でoverleafで行うLaTeXについて紹介した。 adhara.hatenadiary.jpここではcloudlatexとoverleafについて簡単にまとめた(twitterを貼り付けるだけ)(2)プレビューについては、CloudLatexの方が見やすい(プレビューpdfで文字をカーソルで選択で…

超可積分入門(その1)

超可積分に関する入門記事第一弾である。本記事は超可積分に関するレビューである Miller Jr, W., Post, S., & Winternitz, P. (2013). Classical and quantum superintegrability with applications. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, …

【レビュー】Bertrandの定理

本記事はBertrandの定理についてのレビューである。 Bertrandの定理とは Bertrandの定理以前 Bertrandによる証明 Bertrandの定理の意義 別の証明方法の探求 Bertrandの定理の背後にある対称性 まとめと今後の展望 リファレンス 力学の教科書 Bertrandの定理…

【レビュー】非相対論的水素原子Schrödinger方程式における力学的対称性

本記事では、非相対論的水素原子 Schrödinger 方程式における力学的対称性と理論の発展に関するレビューをする。 基本的にスピンの存在によるエネルギー縮退を考えていない。 水素原子のエネルギー準位の発見と前期量子論 量子力学の創設と水素原子のエネル…

水素原子束縛状態におけるSO(4,2)群構造

以前の記事 adhara.hatenadiary.jp ではJordan-Schwingerのボソン生成演算子を用いたSU(2)のユニタリ表現の応用例として、水素原子の束縛状態の波動関数を表示できることを示した。本記事ではボソン演算子を用いてso(4,2)代数の構築ができることを示す。 水…

ボソン演算子を用いた水素原子束縛状態の波動関数の表示

以前の記事 adhara.hatenadiary.jp ではボソン演算子を用いてSU(2)のユニタリ表現を構築できることを紹介した。 ボソン演算子を用いてリー代数su(2)の元を表示することが出来ることも示した。本記事では、ボソン生成演算子を用いたSU(2)のユニタリ表現の応用…

Overleafでの日本語LaTeX

クラウド上でLaTeXを行うことには、コンピュータ上にTeXコンパイルやエディタの環境を整える必要が無い、共同で執筆できる、等の利点がある。 今まで私はクラウド上でLaTeXを行ったことはなかったのだが、色々と捗りそうなのでやってみることにした。主なも…

SU(2)群とsu(2)代数の表現論(その3)〜 ボソン演算子の導入 〜

以前の記事 adhara.hatenadiary.jp ではSU(2)群の既約ユニタリ表現を紹介した。 そこでは複素係数二変数斉次多項式空間がSU(2)の表現により既約分解されること、各次数の部分空間が既約部分空間なっていること、がわかった。本記事は各部分空間を結びつける…

SO(4)群とso(4)代数の表現論(その3)〜 WignerのD行列を用いた四次元球面調和関数の表示 〜

以前の記事 adhara.hatenadiary.jpでは同じ次数の四次元球面調和関数がなす空間がSO(4)の表現空間としては既約であることをリー代数を用いて示した。高次元の球面調和関数については adhara.hatenadiary.jpでも議論しており、高次元球面上の自乗可積分関数が…

群の表現論(その2)〜 Schurの補題と有限群に対するSchurの直交性 〜

以前の記事 adhara.hatenadiary.jp で群の表現論に関する定義といくつかの定理を紹介した。 有限次元表現ユニタリ表現が完全可約(半単純)であるというところまで書いている。本記事では既約表現に関する重要な定理である、Schurの補題と有限群の有限次元表…

SU(2)群とsu(2)代数の表現論(その2)〜 有限次元既約ユニタリ表現とWignerのD行列 〜

本記事ではコンパクトリー群の中でもSU(2)群についての有限次元既約ユニタリ表現(unitary irreducible representations)について紹介する。 SU(2)群の既約ユニタリ表現は球面調和関数やスピンを考えるうえで重要である。本記事の構成は以下のようになってい…

群の表現論(その1)〜 定義や幾つかの事項 〜

本記事では群の表現の定義や表現論の定理の幾つかを紹介する。 表現論の中でもよく用いられるSchurの補題(とその逆)を説明する上での準備という意味合いがある。 本記事の議論は有限群には限定していない(とくにコンパクトリー群への応用を考えているので…

SU(2)群とsu(2)代数の表現論(その1)〜 SU(2)群とsu(2)代数の導入 〜

本記事ではSU(2)群とsu(2)代数の表現論に関する第一弾の記事である。 第一弾ではSU(2)群の行列を用いた定義、すなわち線形表現による定義を紹介する。 この場合、行列の次元をもつベクトル空間への作用を想定しているので、定義の時点ですでに表現となってい…

【ノーベル賞関連】Berezinskii-Kosterlitz-Thouless 転移について

2016年のノーベル物理学賞は、J. M. Thouless, D. J. Kosterlitz, F. D. M. Haldane の三人が受賞した。 「物質のトポロジカル相とトポロジカル相転移の理論的発見」が受賞理由となっている。 近年、物質中におけるトポロジカル相の発現というものが盛んに研…

水素様原子スペクトルに関するBargmannの議論(その2)〜 Pauliの解法と放物線座標表示解法の関係 〜

記事adhara.hatenadiary.jpではBargmannの議論にしたがって、水素様原子スペクトルに関するPauliの解法とFockの解法の関係性について説明した。 すなわち、Pauliの解法において重要な働きをしたLRLベクトルが、実は四次元空間における回転群の生成子の一つで…

水素様原子のエネルギースペクトル解法(その6)〜 E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる放物線座標による変数分離解 〜

数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。 E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる) W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法 su(1,1)代数を用い…

水素様原子スペクトルに関するBargmannの議論(その1)〜 PauliとFockの解法の関係 〜

水素様原子はハミルトニアンの持つ空間対称性SO(3)を超えた対称性SO(4)を持つことが知られている。 この対称性は力学的対称性と呼ばれる。(シッフの教科書 を参照) 力学的対称性を利用した解法としてはPauliの解法 adhara.hatenadiary.jpとFockの解法 adha…

【図解】水素様原子のエネルギースペクトル解法(Fockの解法)について

本記事では、Fockの水素様原子に対するエネルギースペクトル解法(Pauliの方法)の図解を行う。 上記解法の詳細については以前の記事、 adhara.hatenadiary.jp を参照して欲しい。 D次元の水素様原子のエネルギースペクトルが として であり、縮重度は となる…

超球面上の球面調和関数(その2)〜 帯球関数とゲーゲンバウアー多項式 〜

本記事では球面調和関数を具体的に表すための特殊関数であるGegenbauer(ゲーゲンバウアー)多項式について説明する。 Gegenbauer多項式は球面調和関数のうち、 の固定部分群によって固定される特別な関数である帯球関数(Zonal Spherical Function)を具体…

ケプラー問題と力学的対称性(その4)~ 特別な正準座標系で眺めると 〜

いくつかの記事を使って古典力学における力学的対称性について論じるつもりである。第三弾の記事までで、ケプラー問題における束縛状態について、運動の第一積分たちをもちいることで代数を構成できることを見てきた。本記事は、ケプラー問題の束縛状態にお…

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