adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

ラプラシアン

SO(4)群とso(4)代数の表現論(その3)〜 WignerのD行列を用いた四次元球面調和関数の表示 〜

以前の記事 adhara.hatenadiary.jpでは同じ次数の四次元球面調和関数がなす空間がSO(4)の表現空間としては既約であることをリー代数を用いて示した。高次元の球面調和関数については adhara.hatenadiary.jpでも議論しており、高次元球面上の自乗可積分関数が…

【図解】水素様原子のエネルギースペクトル解法(Fockの解法)について

本記事では、Fockの水素様原子に対するエネルギースペクトル解法(Pauliの方法)の図解を行う。 上記解法の詳細については以前の記事、 adhara.hatenadiary.jp を参照して欲しい。 D次元の水素様原子のエネルギースペクトルが として であり、縮重度は となる…

超球面上の球面調和関数(その1)〜 球面調和解析 〜

以前の記事、 adhara.hatenadiary.jp では超球面上のLaplacian(Laplace-Beltrami演算子)の固有関数としての球面調和関数を紹介していた。 すなわち、D次元空間中の超球面 においては、が成立し、球面調和関数 がLaplace-Beltrami演算子の固有関数となってい…

水素様原子のエネルギースペクトル解法(その5)〜 Fockの解法 〜

数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。 E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる) W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法 su(1,1)代数を用い…

超球面上のLaplace-Beltrami演算子と球面調和関数

本記事では超球面上のLaplacian(Laplace-Beltrami演算子)の固有関数としての球面調和関数を紹介する。 三次元球面調和関数は球対称性を持つ問題を解くときに有用である(例えば水素原子の波動関数の角度部分)。 球面調和関数は高次元に拡張できるが、例えば四…

超球の体積/超球面の表面積とLaplacianに対するグリーン関数

本記事では超球の体積/超球面の表面積とLaplacianに対するグリーン関数を紹介する。 三次元空間における球の体積や表面積と同様に高次元でも対応する体積/表面積が計算できる。 また三次元空間ではグリーン関数が ~1/r のようになることが知られている(…

四次元空間におけるLaplacianの極座標表示 〜 角運動量演算子との関係 ~

本記事では四次元空間におけるLaplacian(Laplace演算子)の極座標表示、および角運動量演算子を用いた表示を紹介する。Laplacianは動径部分と角度部分(Laplace-Beltrami演算子)に分解されるが、角度部分は実はso(4)代数のCasimir演算子(全てのso(4)代数…

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