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adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

特殊関数

エルミート多項式をラゲール関数で書く。

エルミート(Hermite)多項式をラゲール(Laguerre)関数で書き換える、ということを行う。 合流型超幾何関数を用いたラゲール関数の定義 エルミート多項式の定義と諸性質 エルミート多項式をラゲール関数で書く。 エルミート多項式の第一種合流型超幾何関数…

SO(4)群とso(4)代数の表現論(その3)〜 WignerのD行列を用いた四次元球面調和関数の表示 〜

以前の記事 adhara.hatenadiary.jpでは同じ次数の四次元球面調和関数がなす空間がSO(4)の表現空間としては既約であることをリー代数を用いて示した。高次元の球面調和関数については adhara.hatenadiary.jpでも議論しており、高次元球面上の自乗可積分関数が…

水素様原子のエネルギースペクトル解法(その6)〜 E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる放物線座標による変数分離解 〜

数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。 E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる) W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法 su(1,1)代数を用い…

【図解】水素様原子のエネルギースペクトル解法(Fockの解法)について

本記事では、Fockの水素様原子に対するエネルギースペクトル解法(Pauliの方法)の図解を行う。 上記解法の詳細については以前の記事、 adhara.hatenadiary.jp を参照して欲しい。 D次元の水素様原子のエネルギースペクトルが として であり、縮重度は となる…

超球面上の球面調和関数(その2)〜 帯球関数とゲーゲンバウアー多項式 〜

本記事では球面調和関数を具体的に表すための特殊関数であるGegenbauer(ゲーゲンバウアー)多項式について説明する。 Gegenbauer多項式は球面調和関数のうち、 の固定部分群によって固定される特別な関数である帯球関数(Zonal Spherical Function)を具体…

水素様原子のエネルギースペクトル解法(その1)〜 Schrödingerによるラゲール陪多項式を用いた波動方程式解法 〜

数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。 E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる) W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法 su(1,1)代数を用い…

ラゲール陪多項式の直交性(Strum-Liouville理論を用いない直接証明)

以前の記事、 adhara.hatenadiary.jp で予告していたラゲール陪関数の直交性を示す。すなわち、 を示す。 まとめ ラゲール陪多項式の直交性を表す式を直接示した。 母関数を用いた証明やStrum-Liouville理論を利用した証明については機会があれば触れたいと…

ラゲール陪多項式の性質(直交性、常微分方程式、漸化式)

ラゲール陪多項式は でラゲール多項式となることを考慮すると、本記事は以前の記事の内容 adhara.hatenadiary.jp を含んでいると言える。 ラゲール陪多項式の満たす二階常微分方程式 ラゲール陪多項式は次の二階常微分方程式を満たす。 この微分方程式は、ラ…

ラゲール多項式の性質(直交性、常微分方程式、漸化式)

この記事では、ラゲール多項式の直交性を中心に紹介する。 直交性を示すにあたり、ラゲール多項式が満たす常微分方程式を示す。 また、ラゲール多項式の計算に便利な漸化式を示す。ラゲール多項式およびラゲール陪多項式は直交多項式系を成すことから有用で…

ラゲール多項式/ラゲール陪多項式の定義

本記事では、ラゲール多項式(Laguerre polynomials)、ラゲール陪多項式(associated Laguerre polynomials)の定義や様々な表示について記述する。筆者は現在、球ポテンシャル下における力学的対称性(dynamical symmetry)や力学的群(dynamical group)…

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