adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

表現論

SO(4)群とso(4)代数の表現論(その3)〜 WignerのD行列を用いた四次元球面調和関数の表示 〜

以前の記事 adhara.hatenadiary.jpでは同じ次数の四次元球面調和関数がなす空間がSO(4)の表現空間としては既約であることをリー代数を用いて示した。高次元の球面調和関数については adhara.hatenadiary.jpでも議論しており、高次元球面上の自乗可積分関数が…

群の表現論(その2)〜 Schurの補題と有限群に対するSchurの直交性 〜

以前の記事 adhara.hatenadiary.jp で群の表現論に関する定義といくつかの定理を紹介した。 有限次元表現ユニタリ表現が完全可約(半単純)であるというところまで書いている。本記事では既約表現に関する重要な定理である、Schurの補題と有限群の有限次元表…

SU(2)群とsu(2)代数の表現論(その2)〜 有限次元既約ユニタリ表現とWignerのD行列 〜

本記事ではコンパクトリー群の中でもSU(2)群についての有限次元既約ユニタリ表現(unitary irreducible representations)について紹介する。 SU(2)群の既約ユニタリ表現は球面調和関数やスピンを考えるうえで重要である。本記事の構成は以下のようになってい…

群の表現論(その1)〜 定義や幾つかの事項 〜

本記事では群の表現の定義や表現論の定理の幾つかを紹介する。 表現論の中でもよく用いられるSchurの補題(とその逆)を説明する上での準備という意味合いがある。 本記事の議論は有限群には限定していない(とくにコンパクトリー群への応用を考えているので…

SU(2)群とsu(2)代数の表現論(その1)〜 SU(2)群とsu(2)代数の導入 〜

本記事ではSU(2)群とsu(2)代数の表現論に関する第一弾の記事である。 第一弾ではSU(2)群の行列を用いた定義、すなわち線形表現による定義を紹介する。 この場合、行列の次元をもつベクトル空間への作用を想定しているので、定義の時点ですでに表現となってい…

SO(4)群とso(4)代数の表現論(その2)〜 同相であるが群同型ではない二つのリー群 〜

SO(4)群とso(4)代数の表現論についてまとめる記事の第二弾である。第二弾では前回の記事 adhara.hatenadiary.jp で出てきた、SO(4) 群と SU(2)×SO(3)群の関係について論じる。この記事の動機は、しばしば とか書かれるが(例えばLaplace–Runge–Lenz vector - …

SO(4)群とso(4)代数の表現論(その1)〜 so(4)代数から生成されるリー群たち 〜

SO(4)群とso(4)代数の表現論についてまとめる記事の第一弾である。本記事の構成は以下のようになっている。 SO(4) 群と so(4) 代数の定義 SO(4) 群と so(4) 代数の二種類の直和表現 so(4) 代数 so(4) 代数の既約表現 so(4) 代数から生成されるリー群 まとめ…

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