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adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

超球の体積/超球面の表面積とLaplacianに対するグリーン関数

ラプラシアン グリーン関数 ラプラス・ベルトラミ作用素

本記事では超球の体積/超球面の表面積とLaplacianに対するグリーン関数を紹介する。
三次元空間における球の体積や表面積と同様に高次元でも対応する体積/表面積が計算できる。
また三次元空間ではグリーン関数が ~1/r のようになることが知られている(電磁気学におけるクーロンポテンシャルや万有引力ポテンシャルの形)が、同様に高次元ヴァージョンが存在する。
グリーン関数を表現する際に(超)球の表面積が登場するのである。(クーロンの法則で登場する4πが一例)


まとめと今後の展望

本記事では超球の体積/超球面の表面積とLaplacianに対するグリーン関数を紹介した。

Fockの水素原子のエネルギースペクトルの解法ではSchrödinger方程式をフーリエ変換し、運動量(あるいは波数)空間で議論する。
その際にエネルギーと合わせて四次元の運動量空間を考えることができ、クーロンポテンシャルは四次元Laplacianに対するグリーン関数に変換される。
今回扱ったグリーン関数はそのような場面で用いられる。

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