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adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

【一般次元】水素様原子に対するシュレディンガー方程式のフーリエ変換の導出

シュレディンガー方程式 水素様原子 量子力学 フーリエ変換

数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル
 {\displaystyle
E_n = - \frac{1}{2n^2}\frac{m_e}{\hbar^2}\left(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \right)^2
}
を求めるための7通りの解法を紹介する予定である。

  1. E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる)
  2. W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法
  3. su(1,1)代数を用いた解法
  4. 因数分解を用いた解法
  5. V. Fockによる運動量表示を用いた解法
  6. E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる波動方程式解法(放物線座標表示の解)
  7. 経路積分を用いる方法

本記事ではその5のFockの手法を展開するために必要な、Schrödinger方程式のフーリエ変換表示を導出する。
とくに、M. Bander and C. Itzyksonで登場する、一般のD次元に拡張した水素様原子ハミルトニアンに対するSchrödinger方程式のフーリエ変換表示を導出した。
通常の3次元のヴァージョンは、日本語のものとして立川さんの講義ノートがあるのを始めフリーで読めるものは多いのだが、一般次元ヴァージョンについては少ないので取り扱うことにした、という事情がある。

本記事は主に、クーロンポテンシャルのフーリエ変換を計算するところに力を入れている。(それ以外の部分に比べて計算が厄介)
導出にあたり数学的なところでは、M. Abramowitz and I. A. StegunG. B. Arfken, H. J. Weberを参考にした。


まとめと今後展望

一般の次元に拡張した水素様原子ハミルトニアンに対するSchrödinger方程式のフーリエ変換表示を導出した。
水素様原子のエネルギースペクトルに関するFockの解法の記事において今回導出したフーリエ変換表示のSchrödinger方程式を用いる。

リファレンス

数学的なところで世話になったもの

  • M. Abramowitz and I. A. Stegun: "Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables", (1964) National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55. Amazon CAPTCHA
  • G. B. Arfken, H. J. Weber: "Mathematical Methods For Physicists", 6th edition (2005), ELSEVIER. Amazon CAPTCHA
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