【一般次元】水素様原子に対するシュレディンガー方程式のフーリエ変換の導出
数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル
を求めるための7通りの解法を紹介する予定である。
- E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる)
- W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法
- su(1,1)代数を用いた解法
- 因数分解を用いた解法
- V. Fockによる運動量表示を用いた解法
- E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる波動方程式解法(放物線座標表示の解)
- 経路積分を用いる方法
本記事ではその5のFockの手法を展開するために必要な、Schrödinger方程式のフーリエ変換表示を導出する。
とくに、M. Bander and C. Itzyksonで登場する、一般のD次元に拡張した水素様原子ハミルトニアンに対するSchrödinger方程式のフーリエ変換表示を導出した。
通常の3次元のヴァージョンは、日本語のものとして立川さんの講義ノートがあるのを始めフリーで読めるものは多いのだが、一般次元ヴァージョンについては少ないので取り扱うことにした、という事情がある。
本記事は主に、クーロンポテンシャルのフーリエ変換を計算するところに力を入れている。(それ以外の部分に比べて計算が厄介)
導出にあたり数学的なところでは、M. Abramowitz and I. A. StegunやG. B. Arfken, H. J. Weberを参考にした。
水素様原子に対するシュレディン ガー方程式のフーリエ変換の導出.pdf - Google ドライブ
まとめと今後展望
一般の次元に拡張した水素様原子ハミルトニアンに対するSchrödinger方程式のフーリエ変換表示を導出した。
水素様原子のエネルギースペクトルに関するFockの解法の記事において今回導出したフーリエ変換表示のSchrödinger方程式を用いる。
リファレンス
数学的なところで世話になったもの
- M. Abramowitz and I. A. Stegun: "Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables", (1964) National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55. http://www.amazon.co.jp/Handbook-Mathematical-Functions-Formulas-Mathematics/dp/0486612724
- G. B. Arfken, H. J. Weber: "Mathematical Methods For Physicists", 6th edition (2005), ELSEVIER. http://www.amazon.co.jp/Mathematical-Methods-Physicists-Seventh-Edition/dp/0123846544
導出で世話になったもの
その他の参考
- Laplace–Runge–Lenz vector - Wikipedia
- L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC. Amazon | Quantum Mechanics (Pure & Applied Physics) | Schiff, L. I. | Quantum Theory
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists" (2008) Amazon | Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists | Gilmore, Robert | Mathematical Physics
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) " http://www.amazon.co.jp/Groups-Algebras-Their-Applications-Mathematics/dp/0486445291/ref=pd_sim_14_3?ie=UTF8&dpID=41MN8a4JqSL&dpSrc=sims&preST=_AC_UL160_SR101%2C160_&refRID=16WC0HP7DJ8CP35QBFS2
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- B. G. Wybourne, "Classical Groups for Physicists" (Wiley, New York, 1974). http://www.amazon.co.jp/Classical-Groups-Physicists-Brian-Wybourne/dp/0471965057/ref=la_B000AQ8VMI_1_2?s=books&ie=UTF8&qid=1461411977&sr=1-2
- https://www.amazon.co.jp/Linearity-Symmetry-Prediction-Hydrogen-Atom-ebook/dp/B000VHZZX4?ie=UTF8&keywords=9780387263694&qid=1463753181&ref_=sr_1_1&sr=8-1
- 国場敦夫: CiNii 論文 - ラプラス-ルンゲ-レンツベクトル--Gruppen Pestの始祖的例題 (特集 代数的物理観--現代物理はいかに表現されているか) 数理科学 45(7), 50-55, 2007-07 サイエンス社
- m-a-oさんのブログ水素原子の表現論
- 立川さんの講義ノートhttp://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/lectures/2015-qm2/
- http://math.umn.edu/~karl0163/docs/fock.pdf
- https://www.researchgate.net/publication/229428980_O4_E_LA_DEGENERAZIONE_ACCIDENTALE_DELL'ATOMO_DI_IDROGENO