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adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

ケプラー問題と力学的対称性(その4)~ 特別な正準座標系で眺めると 〜

いくつかの記事を使って古典力学における力学的対称性について論じるつもりである。

第三弾の記事までで、ケプラー問題における束縛状態について、運動の第一積分たちをもちいることで{\textstyle so(4)}代数を構成できることを見てきた。

本記事は、ケプラー問題の束縛状態における位相空間中の特異な挙動を特別な正準座標系から眺めることで考察する。
この記事における議論は、力学的対称性に関する教育的な論文である O’Connell, Ross Cらの論文 がベースとなっている。
本議論の特徴は、1)二次元ケプラー問題を考えていることと、2)ケプラー問題を眺めるのに適した正準変換を導入していること、の二点である。

本記事の構成は、

  1. はじめに
  2. ケプラー問題の二次元化
  3. 二次元版ケプラー問題の第一積分
  4. 特別な正準座標系で見ると

となっている。


まとめと今後の展望

今回導入した正準座標系で位相空間中の運動を眺めると、運動の軌跡はQ軸に沿った直線となり保存量に相当する方向であるH,L,αの各軸とは直交することが分かる。
しかもdQ/dt=1であることから、Qの変化量は時間の変化量そのものであり、等速直線運動に見えるはずである。

今回導入したような性質をもつ正準座標系を取ることは一般には不可能である。
そもそも第一積分が十分な数(正準変数の数引く1)だけ存在しなければ取りようが無いからである。
このような系は極大超可積分系(Maximally superintegrable systems)と呼ばれる。
ケプラー問題はその一例であり、今回示した位相空間の見方すなわち特別な正準変換の存在は極大超可積分系の性質の一つである。
今回の記事は極大超可積分系を議論するにあたり基礎となるであろう。

次の記事ではケプラー問題の束縛状態が閉軌道であることに関して焦点を当てる予定である。

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