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adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

水素様原子スペクトルに関するBargmannの議論(その1)〜 PauliとFockの解法の関係 〜

水素様原子はハミルトニアンの持つ空間対称性SO(3)を超えた対称性SO(4)を持つことが知られている。
この対称性は力学的対称性と呼ばれる。(シッフの教科書 を参照)
力学的対称性を利用した解法としてはPauliの解法
adhara.hatenadiary.jp

とFockの解法
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が有名である。
Pauliの解法ではLaplace-Runge-Lenzベクトルというクーロンポテンシャル特有の保存量が角運動量ベクトルとともにso(4)代数を構成することを利用していた。
一方で、Fockの解法では方程式の変換により超球面上のラプラシアンLaplace-Beltrami演算子)の固有値問題に帰着することを利用していた。

本記事では両者の解法の関係についてのBargmannの議論を紹介する。
すなわち、Fockの解法からLRLベクトルが導出できることを示す。

まとめ

Fockの解法からLRLベクトルが導出できることを示すという形でPauliとFockの解法の関係性を議論した。
要するにLRLベクトル(ただし規格化したものだが)は、角運動量ベクトルと共に4次元空間の回転生成を担うのである。
この記事の続きとしては、Bargmannの議論の続き、すなわち異なる座標系でシュレディンガー方程式が分離できることについて紹介する。
すなわち、高度な縮退は二種類の座標系で分離できる事実に由来することについて議論する。

リファレンス

この記事を書くにあたり参照する論文

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