読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

ボソン演算子を用いた水素原子束縛状態の波動関数の表示

以前の記事
adhara.hatenadiary.jp
ではボソン演算子を用いてSU(2)のユニタリ表現を構築できることを紹介した。
ボソン演算子を用いてリー代数su(2)の元を表示することが出来ることも示した。

本記事では、ボソン生成演算子を用いたSU(2)のユニタリ表現の応用例として、水素原子の束縛状態の波動関数の表示できることを示す。

記事の構成は以下のようになっている。

  1. so(4)解法のおさらい
  2. ボソン演算子を用いた波動関数の表示

おさらいについては
adhara.hatenadiary.jp
とほぼ同内容(記号が多少異なる)である。


まとめと今後の展望

本記事ではボソン生成演算子を用いたSU(2)のユニタリ表現の応用例として、水素原子の束縛状態の波動関数の表示できることを示した。

ボソン演算子を導入することによる恩恵は、異なるエネルギーの波動関数間を変換する演算子を作れることである。
そのような演算子を見ていくとリー群SO(4,2)が登場することが「発見」できる。
この群は力学的群(dynamical group)と呼ばれ、力学的対称性(dynamical symmetry)を記述する群SO(4)では記述できなかった、各エネルギー状態間の状態遷移を記述する演算子を対応するリー代数の元として自然に含むリー群である。
次回記事は力学群SO(4,2)の「発見」について記す予定である。

もう一つ興味深い数理物理的構造として、水素原子と四次元調和振動子の対応関係がある。
水素原子も四次元の調和振動子もその束縛状態を四種類のボソン生成演算子を用いて表示できる。
この関係性に着目して水素原子の問題を四次元の調和振動子の問題に置き換えることができる。
この置き換えの数学的手続きをKustaanheimo-Stiefel変換と呼ぶが、この変換は水素原子の問題を経路積分で解く際に用いられたり、一般コヒーレント状態という量子状態を構成するのに用いられたりする。
このあたりの話題も多くの数学的準備の記事と合わせて、書いていきたいと考えている。

Copyright © 2016 ブログ名 All rights reserved.