特殊関数

三次元 Helmholtz 方程式を変数分離することができる11種の直交座標系の紹介

Helmholtz 方程式は波動方程式*1を時間部分と空間部分に変数分離して解く時の、空間部分の方程式である。したがって物理の問題としては波動現象を考える時に出てくることが多い。一方で、Helmholtz 方程式については多様な変数分離可能性(Multiseparability…

水素様原子のエネルギースペクトル解法(その9)〜 回転楕円体座標による変数分離解 〜

数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル を求めるための9通りの解法を紹介する予定である。 E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる) W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法 su(1,1)代数を用い…

エルミート多項式をラゲール関数で書く。

エルミート(Hermite)多項式をラゲール(Laguerre)関数で書き換える、ということを行う。 合流型超幾何関数を用いたラゲール関数の定義 エルミート多項式の定義と諸性質 エルミート多項式をラゲール関数で書く。 エルミート多項式の第一種合流型超幾何関数…

SO(4)群とso(4)代数の表現論(その3)〜 WignerのD行列を用いた四次元球面調和関数の表示 〜

以前の記事 adhara.hatenadiary.jpでは同じ次数の四次元球面調和関数がなす空間がSO(4)の表現空間としては既約であることをリー代数を用いて示した。高次元の球面調和関数については adhara.hatenadiary.jpでも議論しており、高次元球面上の自乗可積分関数が…

水素様原子のエネルギースペクトル解法(その6)〜 E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる放物線座標による変数分離解 〜

数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。 E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる) W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法 su(1,1)代数を用い…

【図解】水素様原子のエネルギースペクトル解法(Fockの解法)について

本記事では、Fockの水素様原子に対するエネルギースペクトル解法(Pauliの方法)の図解を行う。 上記解法の詳細については以前の記事、 adhara.hatenadiary.jp を参照して欲しい。 D次元の水素様原子のエネルギースペクトルが として であり、縮重度は となる…

超球面上の球面調和関数(その2)〜 帯球関数とゲーゲンバウアー多項式 〜

本記事では球面調和関数を具体的に表すための特殊関数であるGegenbauer(ゲーゲンバウアー)多項式について説明する。 Gegenbauer多項式は球面調和関数のうち、 の固定部分群によって固定される特別な関数である帯球関数(Zonal Spherical Function)を具体…

水素様原子のエネルギースペクトル解法(その1)〜 Schrödingerによるラゲール陪多項式を用いた波動方程式解法 〜

数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。 E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる) W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法 su(1,1)代数を用い…

ラゲール陪多項式の直交性(Strum-Liouville理論を用いない直接証明)

以前の記事、 adhara.hatenadiary.jp で予告していたラゲール陪関数の直交性を示す。すなわち、 を示す。 ラゲール陪多項式の直交性.pdf - Google ドライブ まとめ ラゲール陪多項式の直交性を表す式を直接示した。 母関数を用いた証明やStrum-Liouville理論…

ラゲール陪多項式の性質(直交性、常微分方程式、漸化式)

ラゲール陪多項式は でラゲール多項式となることを考慮すると、本記事は以前の記事の内容 adhara.hatenadiary.jp を含んでいると言える。 ラゲール陪多項式の満たす二階常微分方程式 ラゲール陪多項式は次の二階常微分方程式を満たす。 この微分方程式は、ラ…

ラゲール多項式の性質(直交性、常微分方程式、漸化式)

この記事では、ラゲール多項式の直交性を中心に紹介する。 直交性を示すにあたり、ラゲール多項式が満たす常微分方程式を示す。 また、ラゲール多項式の計算に便利な漸化式を示す。ラゲール多項式およびラゲール陪多項式は直交多項式系を成すことから有用で…

ラゲール多項式/ラゲール陪多項式の定義

本記事では、ラゲール多項式(Laguerre polynomials)、ラゲール陪多項式(associated Laguerre polynomials)の定義や様々な表示について記述する。筆者は現在、球ポテンシャル下における力学的対称性(dynamical symmetry)や力学的群(dynamical group)…

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