ラゲール多項式の性質(直交性、常微分方程式、漸化式)
この記事では、ラゲール多項式の直交性を中心に紹介する。
直交性を示すにあたり、ラゲール多項式が満たす常微分方程式を示す。
また、ラゲール多項式の計算に便利な漸化式を示す。
ラゲール多項式およびラゲール陪多項式は直交多項式系を成すことから有用である。
これらの多項式が示すのは、半開区間 における直交性である。
全実数区間における直交性を示すエルミート多項式、閉区間での直交性を示すルジャンドル多項式と対比される。
古典直交多項式は、区間の種類によってこの三種類に分類される。
では、本題に。
ラゲールの微分方程式
ラゲール多項式は、ラゲールの微分方程式
を満たす。
これは、ラゲールの多項式の原点周りの経路積分表示
を左辺に代入すると、
となり、完全微分の周回積分なのでとなることから分かる。
ラゲール多項式系の直交性
ラゲール方程式自体は、Strum-Liouville型の自己随伴方程式になっていない。
は自己随伴方程式の解である。
すなわち、
となっている。
境界条件を考慮すると、半開区間 における直交性をもつことがわかる。
ここでは、規格化定数を求めると共に直交性を直接示そう。
すなわち、として、
ここで、 に対して成立する関係式、
を用いた。(帰納法を用いれば示せる。)
式の対称性より、 の時もこれは成立する。
以上より、
リファレンス
- M. Abramowitz and I. A. Stegun: "Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables", (1964) National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55. Amazon CAPTCHA
- G. B. Arfken, H. J. Weber: "Mathematical Methods For Physicists", 6th edition (2005), ELSEVIER. Amazon CAPTCHA
- N. N. Lebedev: "Special Functions & Their Applications", translated and edited by R. A. Silverman , (1965), Prentice-Hall, INC. http://www.amazon.co.jp/Special-Functions-Applications-Mathematics/dp/0486606244
- L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC. http://www.amazon.co.jp/Quantum-Mechanics-Pure-Applied-Physics/dp/0070552878
- Laguerre polynomials - Wikipedia
- Classical orthogonal polynomials - Wikipedia
- Orthogonal polynomials - Wikipedia