ラゲール陪多項式の性質(直交性、常微分方程式、漸化式)
ラゲール陪多項式は でラゲール多項式となることを考慮すると、本記事は以前の記事の内容
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を含んでいると言える。
ラゲール陪多項式の直交性
指数が同じラゲール陪多項式について直交性が成立する。
すなわち、
が成立する。
第一式はラゲール陪多項式の級数表現
を代入により示すことが出来る。
第二式についても直接示すことが可能であるが後日紹介する。
直交性における重み関数が となる理由は、 がStrum-Liouville型の自己随伴方程式を満たすことに起因する。
すなわち、
を満たす。
有用な積分
水素原子のシュレディンガー方程式の電子状態波動関数を表現するにあたって重要となる積分を紹介する。
とすると、
が成立する。
この方程式は一見するとStrum-Liouville型であるが、境界条件の関係からこの関数において直交性は満たされないことに注意されたい。
この関数の二乗ノルムは次のようになる。
漸化式とラゲール陪多項式の直交性を用いることで、この等式を導出できる。
まとめ
本記事ではラゲール陪多項式の性質をまとめた。水素原子のシュレディンガー方程式解を求める時これらの知見が役に立つ。
リファレンス
- M. Abramowitz and I. A. Stegun: "Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables", (1964) National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55. Amazon CAPTCHA
- G. B. Arfken, H. J. Weber: "Mathematical Methods For Physicists", 6th edition (2005), ELSEVIER. Amazon CAPTCHA
- N. N. Lebedev: "Special Functions & Their Applications", translated and edited by R. A. Silverman , (1965), Prentice-Hall, INC. Amazon CAPTCHA
- L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC. Amazon CAPTCHA
- Laguerre polynomials - Wikipedia
- Classical orthogonal polynomials - Wikipedia
- Orthogonal polynomials - Wikipedia