水素様原子における量子力学版Laplace-Runge-Lenzベクトル（その１）〜ハミルトニアンと可換であること〜

数回に分けて、水素様原子に対する（非相対論的）束縛状態エネルギースペクトル
${\displaystyle E_n = - \frac{1}{2n^2}\frac{m_e}{\hbar^2}\left(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \right)^2 }$
を求めるための7通りの解法を紹介する予定である。

本記事では、その２のPauliによるso(4)代数を用いる解法を紹介するための準備を行う。
すなわち、量子力学版Laplace-Runge-Lenz(LRL)ベクトルの導入を行う。
この物理量は水素様原子に対するハミルトニアン下での保存量となっており、Pauliの解法を進める上で重要な働きをする。
元々、古典力学ではクーロンポテンシャルによって運動する物体において、LRLベクトルというものが保存されることが知られていた。
量子力学においても対応する物理量が存在しており、やはり保存量となる。
これらの事情についてはSchiffの本やウィキペディアの記事が詳しい。
これらの文献に従って歴史的経緯を簡単に記すと、LaplaceやRungeは古典力学におけるLRLベクトルを考えており、Lenzが量子力学版を導入したとのことである。
Lenzのアイディアを有効活用したのがPauliであり、このことをもって量子力学版をLenz-Pauliベクトルという場合もある。
また、LaplaceやRungeは最初の導入者ではなく、HermannやBeroulliである、とのことである。
水素様原子における量子力学版 Laplace-Runge-Lenz ベクトル (その1).pdf - Google ドライブ