水素様原子における量子力学版Laplace-Runge-Lenzベクトル（その３）〜ベクトル成分間の交換関係〜

数回に分けて、水素様原子に対する（非相対論的）束縛状態エネルギースペクトル
${\displaystyle E_n = - \frac{1}{2n^2}\frac{m_e}{\hbar^2}\left(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \right)^2 }$
を求めるための7通りの解法を紹介する予定である。

本記事では、その２のPauliによるso(4)代数を用いる解法を紹介するための準備として、角運動量ベクトルと(規格化した)Laplace-Runge-Lenz（LRL）ベクトルの成分間における交換関係の計算を行う。

計算結果のみ列挙すると、
角運動量ベクトル成分間の交換関係が
${\displaystyle [L_i,L_j] = i\hbar\sum_{k}\epsilon_{ijk}L_k }$
、角運動量ベクトル成分とLRLベクトル成分間の交換関係が
${\displaystyle [M_i,L_j] = i\hbar\sum_{k}\epsilon_{ijk}M_k }$
、LRLベクトル成分間の交換関係が
${\displaystyle [M_i,M_j] =-i\hbar \frac{2}{m_e}H\sum_{k}\epsilon_{ijk}L_k }$
となる。
水素様原子における量子力学版 Laplace-Runge-Lenz ベクトル (その3).pdf - Google ドライブ

まとめ

本記事では、角運動量ベクトルと(規格化した)Laplace-Runge-Lenz（LRL）ベクトルの成分間における交換関係の計算を行った。
この交換関係より、角運動量ベクトル・LRLベクトルの各成分はso(4)代数の基底を成すことが分かる。
このso(4)代数構造を利用した水素様原子のエネルギースペクトルの解法を次回の記事で紹介する。