四次元空間におけるLaplacianの極座標表示〜角運動量演算子との関係～

本記事では四次元空間におけるLaplacian（Laplace 演算子）の極座標表示、および角運動量演算子を用いた表示を紹介する。

Laplacianは動径部分と角度部分（Laplace-Beltrami演算子）に分解されるが、角度部分は実はso(4)代数のCasimir演算子（全てのso(4)代数の元と可換となるもの）のうちの一つであることがわかる。

本記事は以下の構成になっている。

四次元空間のLaplacianの極座標表示
角運動量演算子の極座標表示
Laplacianの角運動量演算子を用いた表示

まとめと今後の展望

本記事では、四次元空間におけるLaplacian（Laplace 演算子）の極座標表示、および角運動量演算子を用いた表示を紹介した。

Fockの水素原子のエネルギースペクトルの解法を論じるときに、四次元空間のLaplacianが登場する。
同解法を議論するにあたっては、Laplacianに対するグリーン関数や四次元の球面調和関数の知識が必要である。
今後これらについてまとめた記事を書く予定である。
さらにSO(4)群やso(4)代数についてもまとめたいと考えている。
これらのリー群やリー代数について熟知することは、水素原子のエネルギースペクトルやスペクトルに付随したヒルベルト空間（同一エネルギーの状態からなる部分空間）の構造を幾何学的／代数的に理解する助けとなると考えられる。