超球面上のLaplace-Beltrami演算子と球面調和関数
本記事では超球面上のLaplacian(Laplace-Beltrami演算子)の固有関数としての球面調和関数を紹介する。
三次元球面調和関数は球対称性を持つ問題を解くときに有用である(例えば水素原子の波動関数の角度部分)。
球面調和関数は高次元に拡張できるが、例えば四次元球面調和関数は運動量表示の水素原子波動関数を求めるときに用いられる。(Fockの水素原子エネルギースペクトル解法のこと)
球面調和関数にまつわる話はまともにやろうとすれば、三次元に限ったとしても相当の分量となると思われる。
したがって、今回の記事では
- 固有値
- 固有空間の次元
に焦点を当てることにした。(Fockの解法で用いる部分なので。)
ただし、三次元と四次元の球面調和関数についてはリー代数so(3)やso(4)を用いた説明を用意したが、一般の次元については事実を記すのみである。(加筆する可能性がある)
TeX資料の構成は、
- 一般次元における話(事実の列挙)
- 三次元における話(so(3)代数を用いた解説)
- 四次元における話(so(4)代数を用いた解説)
となっている。
単位超球面上のLaplace-Beltrami演算子と球面調和関数.pdf - Google ドライブ
まとめ
本記事では超球面上のLaplacian(Laplace-Beltrami演算子)の固有関数としての球面調和関数を紹介し、固有値や固有空間の次元について説明した。
後日の記事でFockによる水素原子エネルギースペクトル解法を展開する際に、高次元の球面調和関数や高次元ラプラシアンのグリーン関数を用いる。
リファレンス
- Laplace operator - Wikipedia
- Laplace–Beltrami operator - Wikipedia
- Polar coordinate system - Wikipedia
- Spherical harmonics - Wikipedia
- The SO(4) Symmetry of the Hydrogen Atom
- Some notes on group theory.
- Tensor and spin representations of SO(4) and discrete quantum gravity
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists" (2008) Amazon | Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists | Gilmore, Robert | Mathematical Physics
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) " Amazon | Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) | Gilmore, Robert | Algebra
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- B. G. Wybourne, "Classical Groups for Physicists" (Wiley, New York, 1974). Amazon | Classical Groups for Physicists | Wybourne, Brian G. | Algebra
