水素様原子のエネルギースペクトル解法(その5)〜 Fockの解法 〜
数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル
を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。
- E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる)
- W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法
- su(1,1)代数を用いた解法
- 因数分解を用いた解法
- V. Fockによる運動量表示を用いた解法
- E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる波動方程式解法(放物線座標表示の解)
- Kustaanheimo-Stiefel 変換を用いた解法
- 経路積分を用いる方法
本記事ではその5のFock(を一般のD次元に拡張したもの)による解法のメインパートを紹介する。
前半(シュレディンガー方程式のフーリエ変換)については
adhara.hatenadiary.jp
で紹介している。
また数学の準備としては
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などを行っている。
本記事を書くにあたり、とくにM. Bander and C. Itzykson
を参考にした。
3次元のヴァージョンは、日本語のものとして立川さんの講義ノートがあるのを始めフリーで読めるものは多いので是非参照して欲しい。
(下記にリファレンスへのリンクを沢山張ってある。)
結論から言うと、D次元の水素様原子のエネルギースペクトルは
として
であり、縮重度は
となる。
本記事の構成は以下のようになっている。
水素様原子シュレディンガー方程式のフォックによる解法.pdf - Google ドライブ
まとめと今後の展望
Fockに倣って運動量空間における方程式から水素様原子のエネルギースペクトルを求めた。
今回は解法を書いただけなので物理的意義について踏み込めていないと感じている。
したがって、図解の記事を他の解法にならってもうけたいと考えている。
また、Fockの解法と同様にso(4)の対称性を利用した解法である、
パウリの解法
との関連性を論じる記事についても今後書こうと考えている。
こちらについてはBargmannの議論を参考にする。
リファレンス
導出で世話になったもの
その他の参考
- Laplace–Runge–Lenz vector - Wikipedia
- L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC. Amazon | Quantum Mechanics (Pure & Applied Physics) | Schiff, L. I. | Quantum Theory
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists" (2008) Amazon | Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists | Gilmore, Robert | Mathematical Physics
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) " http://www.amazon.co.jp/Groups-Algebras-Their-Applications-Mathematics/dp/0486445291/ref=pd_sim_14_3?ie=UTF8&dpID=41MN8a4JqSL&dpSrc=sims&preST=_AC_UL160_SR101%2C160_&refRID=16WC0HP7DJ8CP35QBFS2
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- B. G. Wybourne, "Classical Groups for Physicists" (Wiley, New York, 1974). http://www.amazon.co.jp/Classical-Groups-Physicists-Brian-Wybourne/dp/0471965057/ref=la_B000AQ8VMI_1_2?s=books&ie=UTF8&qid=1461411977&sr=1-2
- Stephanie Frank Singer (著) "Linearity, Symmetry, and Prediction in the Hydrogen Atom: An Introduction to Group and Representation Theory" (Springer、Undergraduate Texts in Mathematics)
- 国場敦夫: CiNii 論文 - ラプラス-ルンゲ-レンツベクトル--Gruppen Pestの始祖的例題 (特集 代数的物理観--現代物理はいかに表現されているか) 数理科学 45(7), 50-55, 2007-07 サイエンス社
- m-a-oさんのブログ水素原子の表現論
- 立川さんの講義ノートhttp://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/lectures/2015-qm2/
- http://math.umn.edu/~karl0163/docs/fock.pdf
- https://www.researchgate.net/publication/229428980_O4_E_LA_DEGENERAZIONE_ACCIDENTALE_DELL'ATOMO_DI_IDROGENO