SO(4)群とso(4)代数の表現論(その2)〜 同相であるが群同型ではない二つのリー群 〜
SO(4)群とso(4)代数の表現論についてまとめる記事の第二弾である。
第二弾では前回の記事
adhara.hatenadiary.jp
で出てきた、SO(4) 群と SU(2)×SO(3)群の関係について論じる。
この記事の動機は、しばしば
とか書かれるが(例えばLaplace–Runge–Lenz vector - Wikipedia)、曖昧でありあまり好ましくない(SO(4)とSU(2)×SO(3)の何れも指しうる)、ということを論じたかったからである。
記事の構成は、
- 両群がSU(2)の商群となること
- 両群の関係
のようになっている。
SO(4)群とso(4)代数の表現論(その2).pdf - Google ドライブ
まとめと今後の展望
今回の記事はSO(4) 群と SU(2)×SO(3)群は同相であるが群同型ではないことを論じた。
(群同型ではないことについては不完全、記事の目的には完全には答えていない。)
続きの記事はすぐには書かないが、この積み残しと、幾何学的な理解について取り扱おうと考えている。
リファレンス
- Rotations in 4-dimensional Euclidean space - Wikipedia
- Some notes on group theory.
- Tensor and spin representations of SO(4) and discrete quantum gravity
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists" (2008) http://www.amazon.co.jp/Lie-Groups-Physics-Geometry-Introduction/dp/0521884004
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) " http://www.amazon.co.jp/Groups-Algebras-Their-Applications-Mathematics/dp/0486445291/ref=pd_sim_14_3?ie=UTF8&dpID=41MN8a4JqSL&dpSrc=sims&preST=_AC_UL160_SR101%2C160_&refRID=16WC0HP7DJ8CP35QBFS2
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- B. G. Wybourne, "Classical Groups for Physicists" (Wiley, New York, 1974). http://www.amazon.co.jp/Classical-Groups-Physicists-Brian-Wybourne/dp/0471965057/ref=la_B000AQ8VMI_1_2?s=books&ie=UTF8&qid=1461411977&sr=1-2
- More on the Isomorphism SU(2)⊗SU(2)≅SO(4)