ケプラー問題と力学的対称性(その1)~運動の第一積分~
いくつかの記事を使って古典力学における力学的対称性について論じるつもりである。
今回はケプラー問題における力学的対称性についての記事の第一弾である。
本記事では、ケプラー問題における第一運動の積分、すなわち保存量について論じる。
古くから知られているようにケプラー問題に限らず、球対称ポテンシャル下では、角運動量が保存される。
このベクトルの方向が保存されるということは、運動する面が一定であるということである。
ケプラー問題のように1/rに比例するポテンシャル下では、エネルギーや角運動量の他に別の量もまた運動の第一積分となる。
それがLaplace-Runge-Lenz(LRL)ベクトルである。
このベクトルは角運動量ベクトルと直交している定ベクトルである。
本記事の構成は以下のようになっている。
保存則についてはSchiffの量子力学の教科書やFradkinの論文、離心率についてはLandau-Lifshitzの力学の教科書を主に参照した。
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まとめと今後の展望
本記事ではケプラー問題における運動の第一積分であるLRLベクトルの性質について論じた。
次の記事では、LRLベクトル・角運動量ベクトルの成分間のポアソンブラケット演算の計算ノートをアップロードする。
リファレンス
- Fradkin, DM: "Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems". Progress of Theoretical Physics 37, 798 (1967). http://ptp.oxfordjournals.org/content/37/5/798.abstract
- Laplace–Runge–Lenz vector - Wikipedia
- CiNii 論文 - ラプラス-ルンゲ-レンツベクトル--Gruppen Pestの始祖的例題 (特集 代数的物理観--現代物理はいかに表現されているか)
- http://www.amazon.co.jp/Lie-Groups-Physics-Geometry-Introduction/dp/0521884004
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- Rev. Mod. Phys. 38, 330 (1966) - Group Theory and the Hydrogen Atom (I)
- https://archive.org/details/Mechanics_541archive.org
- L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC. http://www.amazon.co.jp/Quantum-Mechanics-Pure-Applied-Physics/dp/0070552878