非相対論的水素原子の束縛状態スペクトルを経路積分により求める方法 〜Duru-Kleinert変換〜

水素様原子 経路積分

数回に分けて、水素様原子に対する（非相対論的）束縛状態エネルギースペクトル
{\displaystyle E_n = - \frac{1}{2n^2}\frac{m_e}{\hbar^2}\left(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \right)^2 }
を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。

  1. E. Schrödingerによる波動方程式解法（ラゲール陪多項式を用いる）
  2. W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法
  3. su(1,1)代数を用いた解法
  4. 因数分解を用いた解法
  5. V. Fockによる運動量表示を用いた解法
  6. E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる波動方程式解法（放物線座標表示の解）
  7. Kustaanheimo-Stiefel 変換を用いた解法
  8. 経路積分を用いる方法

本記事では第八弾の経路積分を用いた方法を紹介する。
Schrödinger方程式のグリーン関数を経路積分によって計算するのだが、その際にDuru-Kleinert変換を用いることを特徴とする。
特に Grosche, C. (1993). An introduction into the Feynman path integral. arXiv preprint hep-th/9302097. を参考にした。


以下にノートを貼り付ける。
水素原子の経路積分.pdf - Google ドライブ


今後の展望

SO(4,2)代数構造との関連性、水素原子のコヒーレント状態について書く。

リファレンス

主に参考にした論文

Grosche, C. (1993). An introduction into the Feynman path integral. arXiv preprint hep-th/9302097.

Kustaanheimo-Stiefel (KS)変換の元論文は

Kustaanheimo, P., & Stiefel, E. (1965). Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization. J. Reine Angew. Math., 218, 204-219.

クーロンポテンシャルのプロパゲータについては

Schwinger, J. (1964). Coulomb Green's function. Journal of Mathematical Physics, 5(11), 1606-1608.
Hostler, L. (1964). Coulomb Green's functions and the Furry approximation. Journal of Mathematical Physics, 5(5), 591-611.

経路積分とプロパゲータの一般的な話については

Feynman, R. P. (1948). Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics. Reviews of Modern Physics, 20(2), 367.
Path integral formulation - Wikipedia
Propagator - Wikipedia
量子力学と経路積分 | R.P. ファインマン, A.R. ヒッブス, Richard P. Feynman, Albert R. Hibbs, 北原 和夫 |本 | 通販 | Amazon
Amazon | Path Integrals and Quantum Processes (Dover Books on Physics) | Swanson, Mark S. | Quantum Theory

経路積分による水素原子プロパゲータ計算については

Duru–Kleinert transformation - Wikipedia
Duru, I. H., & Kleinert, H. (1982). Quantum Mechanics of H? Atom from Path Integrals. Fortschritte der Physik, 30(8), 401-435.
Duru, I. H., & Kleinert, H. (1979). Solution of the Path Integral for the H-Atom. Physics Letters B, 84(2), 185-188.
Ho, R., & Inomata, A. (1982). Exact-path-integral treatment of the Hydrogen atom. Physical Review Letters, 48(4), 231.
Inomata, A. (1984). Alternative exact-path-integral treatment of the hydrogen atom. Physics Letters A, 101(5-6), 253-257.
臨時別冊・数理科学2017年6月「量子力学の探究」～ 多面的理解で築く現代物理の基礎 ～ 仲　滋文(前日本大学教授)　著
Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets/著者のページでも手に入ります。

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