Kustaanheimo-Stiefel 変換（その３）〜非相対論的水素原子Schrödinger方程式を解く〜

いくつかの記事で水素原子やケプラー問題を四次元調和振動子の問題に変換するKustaanheimo-Stiefel (KS) 変換について紹介していく予定である。
第三弾である本記事ではKS変換によって導出された固有方程式を実際に解く、ということを行う。

はじめに

本記事では非相対論的水素原子のSchrödinger方程式をKustaanheimo-Stiefel変換によって四次元空間中の調和振動子の量子力学的問題に書き換えた方程式を実際に解く。本記事を書くにあたりCornish, F. H. J. (1984)を参考にしている。

ノート

ノートの構成は

1. 前ノートのおさらい
2. 変数分離の実行
3. 二階微分方程式の解法
4. 波動関数とエネルギー

となっている。
以下にノートを貼り付ける。
KS変換（その３）.pdf - Google ドライブ

まとめと今後の展望

本記事では非相対論的水素原子のSchrödinger方程式をKustaanheimo-Stiefel変換によって四次元空間中の調和振動子の量子力学的問題に書き換えた方程式を実際に解く、ということを行った。
波動関数の表示が放物線座標表示の解と等価であることがわかった。
続く記事では1)KS変換におけるLRLベクトルの役割、2)ボソン消滅演算子を用いた表示との関係性、を紹介したいと考えている。

リファレンス

Levi-Civita 変換の元論文

• Levi-Civita, T. (1920). Sur la régularisation du probleme des trois corps. Acta mathematica, 42(1), 99-144./pdfはこちら

Kustaanheimo-Stiefel 変換の元論文

• Kustaanheimo, P., & Stiefel, E. (1965). Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization. J. Math. Bd, 218, 27.

古典力学におけるKS変換を四元数で書いたもの

• Saha, P. (2009). Interpreting the Kustaanheimo–Stiefel transform in gravitational dynamics. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 400(1), 228-231./PDFはこちら

Schrödinger方程式の変換について

• Cornish, F. H. J. (1984). The hydrogen atom and the four-dimensional harmonic oscillator. Journal of Physics A: Mathematical and General, 17(2), 323.
• Barut, A. O., Schneider, C. K. E., & Wilson, R. (1979). Quantum theory of infinite component fields. Journal of Mathematical Physics, 20(11), 2244-2256.
• Kibler, M., Ronveaux, A., & Negadi, T. (1986). On the hydrogen‐oscillator connection: Passage formulas between wave functions. Journal of mathematical physics, 27(6), 1541-1548.
• Boiteux, M. (1982). Theory of nonbijective canonical transformations in mechanics: Application to the Coulomb problem. Journal of Mathematical Physics, 23(7), 1311-1314.
• Chen, A. C. (1980). Hydrogen atom as a four-dimensional oscillator. Physical Review A, 22(2), 333.

Feynmanの経路積分表示に関して

• Duru–Kleinert transformation - Wikipedia
• Duru, I. H., & Kleinert, H. (1982). Quantum Mechanics of H? Atom from Path Integrals. Fortschritte der Physik, 30(8), 401-435.
• Duru, I. H., & Kleinert, H. (1979). Solution of the Path Integral for the H-Atom. Physics Letters B, 84(2), 185-188.
• Ho, R., & Inomata, A. (1982). Exact-path-integral treatment of the Hydrogen atom. Physical Review Letters, 48(4), 231.
• Inomata, A. (1984). Alternative exact-path-integral treatment of the hydrogen atom. Physics Letters A, 101(5-6), 253-257.
• Inomata, A., & Junker, G. (1994). Path integrals and Lie groups. In Noncompact Lie Groups and Some of Their Applications (pp. 199-224). Springer Netherlands.

Weyl-Wigner-Moyal形式の表示に関して

• Phys. Rev. A 30, 691 (1984) - Hydrogen atom in the phase-space formulation of quantum mechanics
• Phase-space formulation - Wikipedia
• Wigner–Weyl transform - Wikipedia

Jordan-WignerのBoson化を利用した波動関数の表示に関して

• Kibler, M., & Négadi, T. (1984). Connection between the hydrogen atom and the harmonic oscillator: The zero-energy case. Physical Review A, 29(5), 2891.
• Kibler, M., & Négadi, T. (1983). On the connection between the hydrogen atom and the harmonic oscillator: the continuum case. Journal of physics A: mathematical and general, 16(18), 4265.
• Chen, A. C., & Kibler, M. (1985). Connection between the hydrogen atom and the four-dimensional oscillator. Physical Review A, 31(6), 3960.

関連記事

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