超球面上の球面調和関数（その１）〜球面調和解析〜

以前の記事、
adhara.hatenadiary.jp
では超球面上のLaplacian(Laplace-Beltrami演算子)の固有関数としての球面調和関数を紹介していた。
すなわち、D次元空間中の超球面 ${\textstyle S^{D-1}}$ においては、

${\displaystyle \Delta_{S^{D-1}} Y_{n\alpha} = -n(n+D-2) Y_{n\alpha} }$

が成立し、球面調和関数 ${\textstyle Y_{n\alpha} }$ がLaplace-Beltrami演算子の固有関数となっていることを（特段の理論背景なしに）書いていた。
さらに、k次の球面調和関数がなす部分関数空間の次元が
${\displaystyle {}_{D+k-1} C_{D-1} - {}_{D+k-3} C_{D-1} }$
となることも書いていた。

これらの事実の理論的背景については、色々な教科書（リー群や調和解析、フーリエ解析の本）に詳しく、またネット上で手に入る文献（たとえば、三重大山本さんの修士論文やNotes on Spherical Harmonics and Linear Representations of Lie Groupsなどが詳しい）も多くある。

本記事では以前の記事であまり書いていなかった理屈や未定義事項を補完する目的で簡単なまとめ（辞書的な扱いをしていただきたい）を書く。

Laplace 演算子（Laplacian）とLaplace-Beltrami演算子（Laplace-Beltramian）

D次元におけるLaplacianは
${\displaystyle \Delta_{R^D} = \sum_{i=1} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} }$
で与えられる。
${\displaystyle x_1 = r\cos\theta_0\prod_{i=1}^{D-2}\left(\sin\theta_{i} \right) }$
${\displaystyle x_2 = r\sin\theta_0\prod_{i=1}^{D-2}\left(\sin\theta_{i} \right) }$
${\displaystyle x_3 = r\cos\theta_1\prod_{i=2}^{D-2}\left(\sin\theta_{i} \right) }$
${\displaystyle \cdots }$
${\displaystyle x_k = r\cos\theta_{k-2} \prod_{i=k-1}^{D-2}\left(\sin\theta_{i} \right) }$
${\displaystyle \cdots }$
${\displaystyle x_{D-1} = r\cos(\theta_{D-3})\sin(\theta_{D-2}) }$
${\displaystyle x_D = r\cos(\theta_{D-2}) }$
という極座標変換を導入すると、
${\displaystyle \Delta_{R^D} = \frac{1}{r^{D-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{D-1} \frac{\partial }{\partial r} \right)+ \frac{\Delta_{S^{D-1}}}{r^2} }$
のように動径部分と角度（超球面）部分に分解することが可能である。
角度部分が超球面上のLaplacian、あるいはLaplace-Beltramianと呼ばれるものである。
このLaplace-Beltramian $\Delta_{S^{D}}$ は漸化式
${\displaystyle \Delta_{S^{D}} = \frac{1}{(\sin\theta_{D-1})^{D-1} }\left( \frac{\partial}{\partial\theta_{D-1}}\left((\sin\theta_{D-1})^{D-1} \frac{\partial}{\partial\theta_{D-1}} \right) \right) + \frac{1}{(\sin\theta_{D-1})^{2} }\Delta_{S^{D-1}} }$
${\displaystyle \Delta_{S^1} = \frac{\partial^2}{\partial \theta_0^2} }$
を用いて求めることが可能である。

同次（斉次）多項式と調和関数、球面調和関数

同次多項式

${\textstyle R^D}$ 空間上のk次の（複素係数）同次多項式とは、
${\displaystyle \sum_{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_D=k,\alpha_i\ge0} a_{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_D} x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_{D}^{\alpha_D} }$
${\displaystyle \alpha_i \in C }$
の形をした多項式である。
これを、
${\displaystyle \sum_{|\alpha|=k} a_{\alpha} x^{\alpha} }$
${\displaystyle \alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_D) }$
と略記する。
この集合を
${\displaystyle P_k(R^D) =\left\{ \sum_{|\alpha|=k} a_{\alpha} x^{\alpha} : a_\alpha \in C \right\} }$
と書くと関数空間としての次元は、
${\displaystyle \mathrm{dim} P_k(R^D) = {}_{D+k-1} C_{D-1} }$
となる。

調和関数

調和関数は ${\textstyle P_k(R^D) }$ のうち、ラプラス方程式
${\displaystyle \Delta_{R^D} f = 0 }$
を満たす要素の集合である。
これは、部分空間を成す。
調和関数の集合としての関数空間を
${\displaystyle \mathcal{H} P_k(R^D) = \{ P \in P_k(R^D) : \forall x\in R^D, \Delta_{R^D} P (x)= 0 \} }$
と書く。
証明を省くが、線形空間における直交分解
${\displaystyle P_k = \mathcal{H} P_k \oplus |x|^2 P_{k-2} }$
が成立し、
${\displaystyle \mathrm{dim} \mathcal{H} P_k(R^D) = \mathrm{dim} P_k(R^D) - \mathrm{dim} P_{k-2}(R^D) = {}_{D+k-1} C_{D-1} - {}_{D+k-3} C_{D-1} }$
となる。

球面調和関数

球面調和関数は ${\textstyle R^D}$ 上の関数である調和関数をその内部空間である ${\textstyle S^{D-1} }$ 上の関数に制限したものである。
これらの集合を
$\mathcal{H}_k$
とする。
${\textstyle \mathcal{H}_k }$ と ${\textstyle \mathcal{H} P_k }$ は線形代数同型であり、要するに次元は一致する。

球面調和解析

球面調和関数の直交性

証明を省くが、Greenの定理等を用いることにより、 ${\textstyle k\neq j }$ のときに
${\displaystyle \mathcal{H}_k \bot \mathcal{H}_j }$
となることを示せる。
ここで、内積は
${\displaystyle (f,g) = \int_{S^{D-1}} f(x) g(x) d\sigma (x) }$
で定義される。
測度は
${\displaystyle d\sigma (x) = \prod_{i=0}^{D-2} \left(\sin^{i}\theta_i d\theta_i \right) }$
で与えられる。

球面調和関数の完全性

${\textstyle S^{D-1} }$ 上の二乗可積分関数の集合を
${\displaystyle L^2(S^{D-1},\sigma ) = \left\{ f {\Huge |} \left( \int_{S^{D-1}} |f(x)|^2 d\sigma (x) \right)^{\frac{1}{2}} < \infty \right\} }$
とする。（Hilbert空間になる。）
このとき、直交する球面調和関数（前の定理より直交するように採れることが保証される）からなる直交基底は ${\textstyle L^2(S^{D-1},\sigma)}$ における完全直交基底となる。
すなわち、正規直交基底を、
${\displaystyle Y_j^{(k)} \in \mathcal{H}_k , j= 1,2,\cdots,\ \mathrm{dim}\mathcal{H}_k,\ k=0,1,\cdots, }$
${\displaystyle \left( Y_j^{(k)} , Y_{j'}^{(k')}\right) = \delta_{kk'}\delta_{jj'} }$
のように取ると、
${\displaystyle {\Huge \|} f - \sum_{k=0}^{n} \sum_{j=1}^{\mathrm{dim}\mathcal{H}_k} (f,Y^{(k)_j}) Y_j^{(k)} {\Huge \|}_{L^2} \rightarrow 0 \ \ (n\rightarrow\infty ) }$
となる。
ただし、
${\displaystyle {\|} f {\|}_{L^2} = \left( \int_{S^{D-1}} |f(x)|^2 d\sigma (x) \right)^{\frac{1}{2}} }$
である。
証明にはStone-Weierstrassの定理等を用いる。

超球面上のLaplace-Beltramianの固有関数としての球面調和関数

${\textstyle \mathcal{H}_k }$ と ${\textstyle \mathcal{H} P_k }$ は線形代数同型であると述べたが、その間の同型写像は
${\displaystyle \phi : \mathcal{H}_k \rightarrow \mathcal{H} P_k : Y^{(k)}(x) \mapsto r^k Y^{(k)}(x) }$
である。（ $x$ は ${\textstyle S^{D-1} }$ 上）
すなわち、
${ \displaystyle \Delta_{R^D} \left( r^k Y^{(k)}(x) \right) = 0 }$
${ \displaystyle \frac{1}{r^{D-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{D-1} \frac{\partial }{\partial r} r^k Y^{(k)}(x)\right)+ \frac{1}{r^2}\Delta_{S^{D-1}} \left( r^k Y^{(k)}(x) \right) = 0 }$
が成立する。
したがって、
${\displaystyle \Delta_{S^{D-1}} Y^{(k)}(x) = -k(k+D-2) Y^{(k)}(x) }$
となり、球面調和関数が超球面上のLaplace-Beltramianの固有関数であることが分かる。