以前の記事 adhara.hatenadiary.jpでは同じ次数の四次元球面調和関数がなす空間がSO(4)の表現空間としては既約であることをリー代数を用いて示した。高次元の球面調和関数については adhara.hatenadiary.jpでも議論しており、高次元球面上の自乗可積分関数が…

水素様原子はハミルトニアンの持つ空間対称性SO(3)を超えた対称性SO(4)を持つことが知られている。 この対称性は力学的対称性と呼ばれる。（シッフの教科書 を参照） 力学的対称性を利用した解法としてはPauliの解法 adhara.hatenadiary.jpとFockの解法 adha…

本記事では、Fockの水素様原子に対するエネルギースペクトル解法(Pauliの方法)の図解を行う。 上記解法の詳細については以前の記事、 adhara.hatenadiary.jp を参照して欲しい。 D次元の水素様原子のエネルギースペクトルが として であり、縮重度は となる…

本記事では球面調和関数を具体的に表すための特殊関数であるGegenbauer（ゲーゲンバウアー）多項式について説明する。 Gegenbauer多項式は球面調和関数のうち、 の固定部分群によって固定される特別な関数である帯球関数（Zonal Spherical Function）を具体…

以前の記事、 adhara.hatenadiary.jp では超球面上のLaplacian(Laplace-Beltrami演算子)の固有関数としての球面調和関数を紹介していた。 すなわち、D次元空間中の超球面 においては、が成立し、球面調和関数 がLaplace-Beltrami演算子の固有関数となってい…

数回に分けて、水素様原子に対する（非相対論的）束縛状態エネルギースペクトル を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。 E. Schrödingerによる波動方程式解法（ラゲール陪多項式を用いる） W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法 su(1,1)代数を用い…

本記事では超球面上のLaplacian(Laplace-Beltrami演算子)の固有関数としての球面調和関数を紹介する。 三次元球面調和関数は球対称性を持つ問題を解くときに有用である(例えば水素原子の波動関数の角度部分)。 球面調和関数は高次元に拡張できるが、例えば四…