超球面上の球面調和関数（その３）〜 帯球関数と再生核 〜
超球面上の球面調和関数に関する以前の記事、
では、帯球関数やそれを表現するための特殊関数であるGegenbauer多項式を導入していた。
帯球関数の著しい性質として、再生核となることがある。
すなわち、同じ次数の球面調和関数を「再生」することができる。
再生核を集めたものもまた再生核と呼ばれる。
前者はk次の球面調和関数からなる既約部分空間の再生核、後者は無限次元ヒルベルト空間の再生核である。
後者の再生核はにおけるLaplacianのグリーン関数でもある。
再生核を応用することで次元の水素原子のシュレディンガー方程式の束縛状態のエネルギースペクトルを求めることができる。
これについては
ここを参照
のこと。
以下にノートをアップロードする。
Gegenbauer多項式と帯球関数.pdf - Google ドライブ
まとめと今後の展望
本記事では帯球関数が再生核と呼ばれる性質を持つことを示した。
さらににおけるLaplacianのグリーン関数との関連についても示した。
続きの記事ではのユニタリ既約表現論の観点から深掘りする予定である。
また別の機会にGegenbauer多項式についてのまとめも用意したい。
リファレンス
主に参考にした文献
その他の文献
- Representation of Lie Groups and Special Functions: Volume 1: Simplest Lie ... - N.Ja. Vilenkin, A.U. Klimyk - Google ブックス
- A Course of Modern Analysis - E. T. Whittaker, G. N. Watson - Google ブックス
- Notes on Differential Geometry and Lie Groups. Jean Gallier and Jocelyn Quaintance.
- Gegenbauer polynomials - Wikipedia
- Zonal spherical function - Wikipedia
- Laplace operator - Wikipedia
- Laplace–Beltrami operator - Wikipedia
- Polar coordinate system - Wikipedia
- Spherical harmonics - Wikipedia
- Stone–Weierstrass theorem - Wikipedia
- Reproducing kernel Hilbert space - Wikipedia
- 三重大山本さんの修士論文
- The Lie theory approach to special functions
- Notes on Spherical Harmonics and Linear Representations of Lie Groups
- 新・フーリエ解析と関数解析学 新井 仁之 (著)
- フーリエ解析の展望 (すうがくぶっくす) 岡本 清郷 (著)
- 等質空間上の解析学―リー群論的方法による序説 (1980年) (紀伊国屋数学叢書〈19〉) 岡本 清郷 (著)
- 群上の調和解析 河添 健 （著）
