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超球面上の球面調和関数(その3)〜 帯球関数と再生核 〜

超球面上の球面調和関数に関する以前の記事、

adhara.hatenadiary.jp

では、帯球関数やそれを表現するための特殊関数であるGegenbauer多項式を導入していた。

帯球関数の著しい性質として、再生核となることがある。
すなわち、同じ次数の球面調和関数を「再生」することができる。
再生核を集めたものもまた再生核と呼ばれる。
前者はk次の球面調和関数からなる既約部分空間の再生核、後者は無限次元ヒルベルト空間{L^2(S^{D-1},d\Omega)}の再生核である。
後者の再生核は{R^D}におけるLaplacianのグリーン関数でもある。

再生核を応用することで{D\ge2}次元の水素原子のシュレディンガー方程式の束縛状態のエネルギースペクトルを求めることができる。
これについては
ここを参照
のこと。

以下にノートをアップロードする。

まとめと今後の展望

本記事では帯球関数が再生核と呼ばれる性質を持つことを示した。
さらに{R^D}におけるLaplacianのグリーン関数との関連についても示した。
続きの記事では{SO(D)}のユニタリ既約表現論の観点から深掘りする予定である。

また別の機会にGegenbauer多項式についてのまとめも用意したい。

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