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adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

【図解】水素様原子のエネルギースペクトル解法(Fockの解法)について

本記事では、Fockの水素様原子に対するエネルギースペクトル解法(Pauliの方法)の図解を行う。
上記解法の詳細については以前の記事、
adhara.hatenadiary.jp
を参照して欲しい。
D次元の水素様原子のエネルギースペクトルが
 {\textstyle n \ge 0}として
 {\displaystyle
E_n = E = - \frac{1}{2} \frac{1}{\left(\frac{2n+D-1}{2}\right)^2} \frac{m_e}{\hbar^2} \left(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \right)^2
}
であり、縮重度は
 {\displaystyle
{}_{n+D} C_n - {}_{n+D-2} C_{n-2} 
}
となることを示していた。

ただし今回のノート(スライド)は積分形式の固有値方程式を解く段階で、違ったやり方、即ち帯球関数の再生核としての性質を用いている。
この方法では束縛状態の固有値が求めたものに限られることをスッキリ説明できる。
以前の記事では積分路を工夫して解を求めていた。

前半はフーリエ変換立体射影によるシュレディンガー方程式の変形の概略、後半はグリーン関数、再生核、帯球関数の概念を利用した固有方程式解法の概略を示している。


まとめと今後の展望

本記事では、Fockが提示した水素様原子に対するエネルギースペクトル解法の図解を行った。
今回出てきた帯球関数、再生核、ゲーゲンバウアー多項式については別の記事で詳しく扱う。

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