【図解】水素様原子のエネルギースペクトル解法(Fockの解法)について
本記事では、Fockの水素様原子に対するエネルギースペクトル解法(Pauliの方法)の図解を行う。
上記解法の詳細については以前の記事、
adhara.hatenadiary.jp
を参照して欲しい。
D次元の水素様原子のエネルギースペクトルが
として
であり、縮重度は
となることを示していた。
ただし今回のノート(スライド)は積分形式の固有値方程式を解く段階で、違ったやり方、即ち帯球関数の再生核としての性質を用いている。
この方法では束縛状態の固有値が求めたものに限られることをスッキリ説明できる。
以前の記事では積分路を工夫して解を求めていた。
前半はフーリエ変換や立体射影によるシュレディンガー方程式の変形の概略、後半はグリーン関数、再生核、帯球関数の概念を利用した固有方程式解法の概略を示している。
【考察/解釈】Fockの解法.pdf - Google ドライブ
まとめと今後の展望
本記事では、Fockが提示した水素様原子に対するエネルギースペクトル解法の図解を行った。
今回出てきた帯球関数、再生核、ゲーゲンバウアー多項式については別の記事で詳しく扱う。
リファレンス
物理
- M. BANDER and C. ITZYKSON, Rev. Mod. Phys. 38, 330 (1966) - Group Theory and the Hydrogen Atom (I)/読めます
- http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/TheorieAKkM/ws14/May.pdf
- Laplace–Runge–Lenz vector - Wikipedia
- L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC.
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists" (2008)
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) "
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- B. G. Wybourne, "Classical Groups for Physicists" (Wiley, New York, 1974).
- https://archive.org/details/QuantumMechanics_104
- 国場敦夫: CiNii 論文 - ラプラス-ルンゲ-レンツベクトル--Gruppen Pestの始祖的例題 (特集 代数的物理観--現代物理はいかに表現されているか) 数理科学 45(7), 50-55, 2007-07 サイエンス社
- m-a-oさんのブログ水素原子の表現論
- 立川さんの講義ノートhttp://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/lectures/2015-qm2/
- The Reference Frame: Hydrogen atom and \(SO(4)\) symmetry
数学
- Chapling, R. (2016). A Hypergeometric Integral with Applications to the Fundamental Solution of Laplace's Equation on Hyperspheres. SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 12, 079.
- 極座標・回転群・SL(2,R) - 九州大学大学院数理学研究院
- Notes on Differential Geometry and Lie Groups. Jean Gallier and Jocelyn Quaintance.
- Gegenbauer polynomials - Wikipedia
- Zonal spherical function - Wikipedia
- Laplace operator - Wikipedia
- Laplace–Beltrami operator - Wikipedia
- Polar coordinate system - Wikipedia
- Spherical harmonics - Wikipedia
- Stone–Weierstrass theorem - Wikipedia
- Stereographic projection - Wikipedia
- 三重大山本さんの修士論文
- The Lie theory approach to special functions
- 新・フーリエ解析と関数解析学 新井 仁之 (著)
- フーリエ解析の展望 (すうがくぶっくす) 岡本 清郷 (著)
- 等質空間上の解析学―リー群論的方法による序説 (1980年) (紀伊国屋数学叢書〈19〉) 岡本 清郷 (著)
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