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adhara’s blog

数理物理に関する記事を書きます。 https://twitter.com/adhara_mathphys

SO(4)群とso(4)代数の表現論(その3)〜 WignerのD行列を用いた四次元球面調和関数の表示 〜

以前の記事
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では同じ次数の四次元球面調和関数がなす空間がSO(4)の表現空間としては既約であることをリー代数を用いて示した。

高次元の球面調和関数については
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でも議論しており、高次元球面上の自乗可積分関数が対応する次元の球面調和関数で展開できることを述べている。(フーリエ展開の拡張に相当する)

さらに
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では球面調和関数の一種である帯球関数をGegenbauer多項式を用いて表している。

本記事ではアプローチを変えて、
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で導入したWignerのD行列を用いて正規直交基底をなす四次元球面調和関数を構成する、ということを行う。
WignerのD行列はSU(2)の既約ユニタリ表現の行列表示であるが、これを{\textstyle S^3}上の関数と見なすとSchurの直交性から各行列要素が直交することが示される。
各行列要素は既約表現関数あるいは単純表現関数と呼ばれ、これらの線形結合がなす関数全体(同じ既約表現に属する球面調和関数全体である)は表現関数と呼ばれる。

本記事は以下の構成になっている。

  1. コンパクト位相群におけるSchurの直交性
  2. SU(2)とWignerのD行列に関すること
  3. WignerのD行列の各成分が四次元球面調和関数になっており各成分が直交すること

本記事を書くにあたりM. Bander and C. Itzyksonの論文トロント大学講義ノート(Fiona Murnaghaさん)を参考にした。(コンパクト位相群については後者、WignerのD行列から正規直交する四次元球面調和関数を構成するところは前者を参考にした。)


今後の展望

テンソル積を用いた表現との関係はいずれ議論したい。
今回紹介した結果の背後にあるPeter-Weyl定理についてもいずれ触れたい。
位相群に関する事項もいずれまとめる。

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