SO(4)群とso(4)代数の表現論（その３）〜 WignerのD行列を用いた四次元球面調和関数の表示 〜
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では同じ次数の四次元球面調和関数がなす空間がSO(4)の表現空間としては既約であることをリー代数を用いて示した。
高次元の球面調和関数については
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でも議論しており、高次元球面上の自乗可積分関数が対応する次元の球面調和関数で展開できることを述べている。(フーリエ展開の拡張に相当する)
では球面調和関数の一種である帯球関数をGegenbauer多項式を用いて表している。
本記事ではアプローチを変えて、
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で導入したWignerのD行列を用いて正規直交基底をなす四次元球面調和関数を構成する、ということを行う。
WignerのD行列はSU(2)の既約ユニタリ表現の行列表示であるが、これを上の関数と見なすとSchurの直交性から各行列要素が直交することが示される。
各行列要素は既約表現関数あるいは単純表現関数と呼ばれ、これらの線形結合がなす関数全体(同じ既約表現に属する球面調和関数全体である)は表現関数と呼ばれる。
本記事は以下の構成になっている。
- コンパクト位相群におけるSchurの直交性
- SU(2)とWignerのD行列に関すること
- WignerのD行列の各成分が四次元球面調和関数になっており各成分が直交すること
本記事を書くにあたりM. Bander and C. Itzyksonの論文とトロント大学講義ノート(Fiona Murnaghaさん)を参考にした。（コンパクト位相群については後者、WignerのD行列から正規直交する四次元球面調和関数を構成するところは前者を参考にした。）
SO(4) 群とso(4) 代数の表現論(その3).pdf - Google ドライブ
リファレンス
- M. Bander and C. Itzykson, Rev. Mod. Phys. 38, 330 (1966) - Group Theory and the Hydrogen Atom (I)/読めます
- トロント大学講義ノート(Fiona Murnaghaさん)、"INTRODUCTION TO REPRESENTATION THEORY"
- トロント大学講義ノート(Fiona Murnaghaさん)、"INTRODUCTION TO REPRESENTATION THEORY"の6章
- トロント大学講義ノート(Fiona Murnaghaさん)、"Representations of locally compact groups – Fall 2013"
- シュヴァレー リー群論 (ちくま学芸文庫) 文庫 – 2012/6 クロード シュヴァレー (著), Claude Chevalley (原著), 齋藤 正彦 (翻訳)
- Schur orthogonality relations - Wikipedia
- 大直交性定理 - Wikipedia
- Rotations in 4-dimensional Euclidean space - Wikipedia
- Some notes on group theory.
- Tensor and spin representations of SO(4) and discrete quantum gravity
- 小林俊行、大島利雄、『リー群と表現論』岩波書店
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists" (2008)
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) "
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics"
- B. G. Wybourne, "Classical Groups for Physicists" (Wiley, New York, 1974).
