adhara’s blog

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水素様原子のエネルギースペクトル解法(その6)〜 E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる放物線座標による変数分離解 〜

数回に分けて、水素様原子に対する(非相対論的)束縛状態エネルギースペクトル
 {\displaystyle
E_n = - \frac{1}{2n^2}\frac{m_e}{\hbar^2}\left(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \right)^2
}
を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。

  1. E. Schrödingerによる波動方程式解法(ラゲール陪多項式を用いる)
  2. W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法
  3. su(1,1)代数を用いた解法
  4. 因数分解を用いた解法
  5. V. Fockによる運動量表示を用いた解法
  6. E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる波動方程式解法(放物線座標表示の解)
  7. Kustaanheimo-Stiefel 変換を用いた解法
  8. 経路積分を用いる方法

今回紹介する方法は方法は放物線座標表示の解法である。
最も良く知られておりDFTなどの応用上も有用な1つめの方法では、球座標表示の解を求めている。
その際に動径方向にラゲール陪多項式が出てくる。
放物線座標表示でもラゲール陪多項式が用いられるが、二つのラゲール陪多項式の積が出てくる。
本方法はE. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによって独立に論じられたようである。
Schrödingerについては1926年に発表された量子力学に関する四部作(この業績によりシュレディンガー方程式の名を残している)のうち三作目(pdf)で放物線座標について出てくる。

放物線座標表示はLRLベクトルとの相性がよく、SO(4)対称性を理解する上で重要である。


まとめ

BargmannはSO(4)対称性による水素原子の量子状態の理解を進めたが、その際放物線座標表示との関係を議論している。
次の記事では、放物線座標表示を利用したSO(4)対称性の理解についてまとめる。

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