水素様原子のエネルギースペクトル解法（その６）〜 E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる放物線座標による変数分離解〜

数回に分けて、水素様原子に対する（非相対論的）束縛状態エネルギースペクトル
${\displaystyle E_n = - \frac{1}{2n^2}\frac{m_e}{\hbar^2}\left(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \right)^2 }$
を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。

今回紹介する方法は方法は放物線座標表示の解法である。
最も良く知られておりDFTなどの応用上も有用な1つめの方法では、球座標表示の解を求めている。
その際に動径方向にラゲール陪多項式が出てくる。
放物線座標表示でもラゲール陪多項式が用いられるが、二つのラゲール陪多項式の積が出てくる。
本方法はE. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによって独立に論じられたようである。
Schrödingerについては1926年に発表された量子力学に関する四部作(この業績によりシュレディンガー方程式の名を残している)のうち三作目(pdf)で放物線座標について出てくる。

放物線座標表示はLRLベクトルとの相性がよく、SO(4)対称性を理解する上で重要である。
水素様原子の放物線座標による変数分離解法.pdf - Google ドライブ