ケプラー問題と力学的対称性(その3)~ 束縛状態のso(4)リー代数 〜
いくつかの記事を使って古典力学における力学的対称性について論じるつもりである。
ケプラー問題における力学的対称性に関する記事の第三弾である本記事では、ケプラー問題の束縛状態に付随するリー代数について論じる。
前に、量子力学版LRLベクトルの記事やPauliの解法で示したように水素原子の縮退した束縛状態は、代数の既約表現として理解できる。
実は、古典力学のケプラー問題でも同様なリー代数が存在している。
今回では、水素原子のときと同様にエネルギー負の束縛状態を考え、代数を構成できることを示す。
本記事の構成は
のようになっている。
第一弾の復習(ケプラー問題の保存量)
第一弾ではケプラー問題における運動の第一積分、すなわち保存量について論じた。
すなわちケプラー問題のハミルトニアン、
に対して、角運動量ベクトルを
、LRLベクトルを
で定義すると、
となりそれぞれのベクトルが保存されることを見た。
第二弾の復習(角運動量ベクトルとLRLベクトル各成分間のポアソンブラケット演算)
第二弾では角運動量ベクトルとLRLベクトル(Laplace-Runge-Lenzベクトル)の各成分のポアソンブラケット演算を計算した。
すなわち、
であることを見た。
代数とは
代数は、n次元ベクトル空間の狭義回転群の生成元が成すリー代数である。
平面()に関する回転の生成元は
のように表される。
すなわち、生成元から生成される指数演算子の集まりは
となり、平面に関する回転群を成す。
実際に、ベクトルに対して演算子を作用させると
となり、回転行列を作用させることと同等の働きをする。
これが(部分)回転群の線形表現である。
途中で、
を用いた。
代数の生成元から作られる指数演算子により、群が構成される。
すなわち、
となっている。
束縛状態におけるso(4)リー代数
を固定し、(この時点で考える位相空間をエネルギー一定の超平面に制限したことになる。量子力学のときと似た状況)
とすれば、
となる。
ここで、
という置き換えをし、ポアソンブラケット演算を交換関係演算に置き換えると、代数と同じブラケット演算となっていることが分かる。
すなわち、両代数はリー代数同型である。
したがって、束縛状態について角運動量ベクトルとLRLベクトルを規格化したものは代数を成す。
まとめと今後の展望
本記事ではケプラー問題の束縛状態においてリー代数を構成できることを示した。
次の記事ではケプラー問題において束縛状態が閉じた軌道を成す理屈をハミルトニアン解析力学の知見を用いて分析する。
直接は代数は出てこないが別のリー代数(シンプレクテック群を生成する)が
重要となる。
今回の代数についても展開をしていく予定である。
リファレンス
- Fradkin, DM: "Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems". Progress of Theoretical Physics 37, 798 (1967). Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems
- Laplace–Runge–Lenz vector - Wikipedia, the free encyclopedia
- CiNii 論文 - ラプラス-ルンゲ-レンツベクトル--Gruppen Pestの始祖的例題 (特集 代数的物理観--現代物理はいかに表現されているか)
- http://www.amazon.co.jp/Lie-Groups-Physics-Geometry-Introduction/dp/0521884004
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- Rev. Mod. Phys. 38, 330 (1966) - Group Theory and the Hydrogen Atom (I)
- archive.org
- L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC. Amazon CAPTCHA
ケプラー問題と力学的対称性(その2)~角運動量ベクトルとLRLベクトルのポアソンブラケット演算~
いくつかの記事を使って古典力学における力学的対称性について論じるつもりである。
今回はケプラー問題における力学的対称性に関する記事の第二弾である。
第一弾ではケプラー問題における運動の第一積分、すなわち保存量について論じた。
今回は角運動量ベクトルとLRLベクトル(Laplace-Runge-Lenzベクトル)の各成分のポアソンブラケット演算を計算したのでそれを記す。
ただの計算ノートなので、特に深いことは書いていない。
ハミルトン形式解析力学の計算練習と思って利用していただくのが良いと思う。
今回の計算は気合いで遂行したが、外積代数を用いると、もっと簡単にできたかもしれない。
本記事の構成は以下のようになっている。
以下、ノートを貼り付ける。
ケプラー問題と力学的対称性(その2).pdf - Google ドライブ
リファレンス
- Fradkin, DM: "Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems". Progress of Theoretical Physics 37, 798 (1967). http://ptp.oxfordjournals.org/content/37/5/798.abstract
- Laplace–Runge–Lenz vector - Wikipedia
- CiNii 論文 - ラプラス-ルンゲ-レンツベクトル--Gruppen Pestの始祖的例題 (特集 代数的物理観--現代物理はいかに表現されているか)
- http://www.amazon.co.jp/Lie-Groups-Physics-Geometry-Introduction/dp/0521884004
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.38.330
- https://archive.org/details/Mechanics_541archive.org
- L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC. http://www.amazon.co.jp/Quantum-Mechanics-Pure-Applied-Physics/dp/0070552878
ケプラー問題と力学的対称性(その1)~運動の第一積分~
いくつかの記事を使って古典力学における力学的対称性について論じるつもりである。
今回はケプラー問題における力学的対称性についての記事の第一弾である。
本記事では、ケプラー問題における第一運動の積分、すなわち保存量について論じる。
古くから知られているようにケプラー問題に限らず、球対称ポテンシャル下では、角運動量が保存される。
このベクトルの方向が保存されるということは、運動する面が一定であるということである。
ケプラー問題のように1/rに比例するポテンシャル下では、エネルギーや角運動量の他に別の量もまた運動の第一積分となる。
それがLaplace-Runge-Lenz(LRL)ベクトルである。
このベクトルは角運動量ベクトルと直交している定ベクトルである。
本記事の構成は以下のようになっている。
保存則についてはSchiffの量子力学の教科書やFradkinの論文、離心率についてはLandau-Lifshitzの力学の教科書を主に参照した。
ケプラー問題と力学的対称性(その1).pdf - Google ドライブ
まとめと今後の展望
本記事ではケプラー問題における運動の第一積分であるLRLベクトルの性質について論じた。
次の記事では、LRLベクトル・角運動量ベクトルの成分間のポアソンブラケット演算の計算ノートをアップロードする。
リファレンス
- Fradkin, DM: "Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems". Progress of Theoretical Physics 37, 798 (1967). http://ptp.oxfordjournals.org/content/37/5/798.abstract
- Laplace–Runge–Lenz vector - Wikipedia
- CiNii 論文 - ラプラス-ルンゲ-レンツベクトル--Gruppen Pestの始祖的例題 (特集 代数的物理観--現代物理はいかに表現されているか)
- http://www.amazon.co.jp/Lie-Groups-Physics-Geometry-Introduction/dp/0521884004
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- Rev. Mod. Phys. 38, 330 (1966) - Group Theory and the Hydrogen Atom (I)
- https://archive.org/details/Mechanics_541archive.org
- L. I. Schiff: "Quantum Mechanics" 3rd edition (1968), McGraw-Hill, INC. http://www.amazon.co.jp/Quantum-Mechanics-Pure-Applied-Physics/dp/0070552878
SO(4)群とso(4)代数の表現論(その2)〜 同相であるが群同型ではない二つのリー群 〜
SO(4)群とso(4)代数の表現論についてまとめる記事の第二弾である。
第二弾では前回の記事
adhara.hatenadiary.jp
で出てきた、SO(4) 群と SU(2)×SO(3)群の関係について論じる。
この記事の動機は、しばしば
とか書かれるが(例えばLaplace–Runge–Lenz vector - Wikipedia)、曖昧でありあまり好ましくない(SO(4)とSU(2)×SO(3)の何れも指しうる)、ということを論じたかったからである。
記事の構成は、
- 両群がSU(2)の商群となること
- 両群の関係
のようになっている。
SO(4)群とso(4)代数の表現論(その2).pdf - Google ドライブ
まとめと今後の展望
今回の記事はSO(4) 群と SU(2)×SO(3)群は同相であるが群同型ではないことを論じた。
(群同型ではないことについては不完全、記事の目的には完全には答えていない。)
続きの記事はすぐには書かないが、この積み残しと、幾何学的な理解について取り扱おうと考えている。
リファレンス
- Rotations in 4-dimensional Euclidean space - Wikipedia
- Some notes on group theory.
- Tensor and spin representations of SO(4) and discrete quantum gravity
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists" (2008) http://www.amazon.co.jp/Lie-Groups-Physics-Geometry-Introduction/dp/0521884004
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) " http://www.amazon.co.jp/Groups-Algebras-Their-Applications-Mathematics/dp/0486445291/ref=pd_sim_14_3?ie=UTF8&dpID=41MN8a4JqSL&dpSrc=sims&preST=_AC_UL160_SR101%2C160_&refRID=16WC0HP7DJ8CP35QBFS2
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- B. G. Wybourne, "Classical Groups for Physicists" (Wiley, New York, 1974). http://www.amazon.co.jp/Classical-Groups-Physicists-Brian-Wybourne/dp/0471965057/ref=la_B000AQ8VMI_1_2?s=books&ie=UTF8&qid=1461411977&sr=1-2
- More on the Isomorphism SU(2)⊗SU(2)≅SO(4)
SO(4)群とso(4)代数の表現論(その1)〜 so(4)代数から生成されるリー群たち 〜
SO(4)群とso(4)代数の表現論についてまとめる記事の第一弾である。
本記事の構成は以下のようになっている。
- SO(4) 群と so(4) 代数の定義
- SO(4) 群と so(4) 代数の二種類の直和表現
- so(4) 代数 so(4) 代数の既約表現
- so(4) 代数から生成されるリー群
SO(4)群とso(4)代数の表現論(その1).pdf - Google ドライブ
まとめと今後の展望
第二段では今回出てきた、SO(4) 群と SU(2)×SO(3)群の関係についてまとめる。
リファレンス
- Rotations in 4-dimensional Euclidean space - Wikipedia
- Some notes on group theory.
- Tensor and spin representations of SO(4) and discrete quantum gravity
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists" (2008) http://www.amazon.co.jp/Lie-Groups-Physics-Geometry-Introduction/dp/0521884004
- Robert Gilmore, "Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) " http://www.amazon.co.jp/Groups-Algebras-Their-Applications-Mathematics/dp/0486445291/ref=pd_sim_14_3?ie=UTF8&dpID=41MN8a4JqSL&dpSrc=sims&preST=_AC_UL160_SR101%2C160_&refRID=16WC0HP7DJ8CP35QBFS2
- B. G. Wybourne, "Continuous Symmeties in Physics" http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/symc.pdf
- B. G. Wybourne, "Classical Groups for Physicists" (Wiley, New York, 1974). http://www.amazon.co.jp/Classical-Groups-Physicists-Brian-Wybourne/dp/0471965057/ref=la_B000AQ8VMI_1_2?s=books&ie=UTF8&qid=1461411977&sr=1-2
- More on the Isomorphism SU(2)⊗SU(2)≅SO(4)