水素様原子スペクトルに関するBargmannの議論（その２）〜 Pauliの解法と放物線座標表示解法の関係 〜

SO(4) Laplace-Runge-Lenzベクトル 放物線座標 リー代数 ラゲール多項式 シュレディンガー方程式 量子力学

記事

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ではBargmannの議論にしたがって、水素様原子スペクトルに関するPauliの解法とFockの解法の関係性について説明した。
すなわち、Pauliの解法において重要な働きをしたLRLベクトルが、実は四次元空間における回転群の生成子の一つであることを説明した。

Pauliの解法

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では\textstyle{su(2)} の同じ既約ユニタリ表現に属するベクトルの直積として解を表せることを示した。

\begin{eqnarray} | l,m_a\rangle \otimes | l,m_b\rangle \, \, ( 2l\in \boldsymbol{Z}_{\ge 0},m_a,m_b=-l , -l + 1, \cdots, l-1, l ) \end{eqnarray}

一方、別の記事

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では、放物線座標を用いた解法を説明した。
そこでは、解がラゲール陪多項式二つを用いて

\begin{eqnarray} \Psi_{N,N_1,m} = e^{im\phi}e^{-\frac{\alpha_N}{2}(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1\lambda_2)^{\frac{|m|}{2}} L_{N_1}^{|m|}(\alpha_N \lambda_1) L^{|m|}_{N_2}(\alpha_N \lambda_2) \end{eqnarray}

と書けることを示した。
ただし、\textstyle{N_2=N-N_1-|m|-1} となっているので、独立な量子数は \textstyle{ N,N_1,m } である。
量子数の許される領域は

\begin{eqnarray} N\in \boldsymbol{Z}_{+}, \, N_1,N_2 \in \boldsymbol{Z}_{\ge0}, \, m = -(N-1), -(N-2),\cdots, N-2, N-1 \end{eqnarray}

である。

本記事では両方の解法で出てくる解が一対一対応していることを示す。
この発想自体はBargmannによるものであるから、記事の題名として「Bargmannの議論」という言葉を用いている。
水素様原子スペクトルに関するバーグマンの議論2.pdf - Google ドライブ


まとめ

本記事ではPauliの解法と放物線座標表示解法の解が一対一対応していることを示した。
すなわち、

\begin{eqnarray} | l,m_a\rangle \otimes | l,m_b\rangle = \Psi_{2l+1,l-\frac{|m_a+m_b|+(m_a-m_b)}{2},m_a+m_b} \end{eqnarray}

の関係が成立している。
この対応が存在する原因は、どちらの解もハミルトニアン、角運動量極軸(あるいは量子化軸)成分、LRLベクトル極軸(あるいは量子化軸)成分、の三つの演算子の同時固有状態となっていることに由来する。
よく知られた極座標表示解法による解がハミルトニアン、角運動量の自乗、角運動量極軸(あるいは量子化軸)成分、の三つの演算子の同時固有状態となっていることと対照的である。

リファレンス

Pauli、Fock、Bargmannの論文

Schrödinger、Epstein、Wallerの論文

この記事を書くにあたり参照した論文

水素様原子のエネルギースペクトル解法（その６）〜 E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる放物線座標による変数分離解 〜

放物線座標 シュレディンガー方程式 中心力ポテンシャル 特殊関数 水素様原子 量子力学 ラゲール多項式

数回に分けて、水素様原子に対する（非相対論的）束縛状態エネルギースペクトル
{\displaystyle E_n = - \frac{1}{2n^2}\frac{m_e}{\hbar^2}\left(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \right)^2 }
を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。

  1. E. Schrödingerによる波動方程式解法（ラゲール陪多項式を用いる）
  2. W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法
  3. su(1,1)代数を用いた解法
  4. 因数分解を用いた解法
  5. V. Fockによる運動量表示を用いた解法
  6. E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる波動方程式解法（放物線座標表示の解）
  7. Kustaanheimo-Stiefel 変換を用いた解法
  8. 経路積分を用いる方法

今回紹介する方法は方法は放物線座標表示の解法である。
最も良く知られておりDFTなどの応用上も有用な1つめの方法では、球座標表示の解を求めている。
その際に動径方向にラゲール陪多項式が出てくる。
放物線座標表示でもラゲール陪多項式が用いられるが、二つのラゲール陪多項式の積が出てくる。
本方法はE. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによって独立に論じられたようである。
Schrödingerについては1926年に発表された量子力学に関する四部作(この業績によりシュレディンガー方程式の名を残している)のうち三作目(pdf)で放物線座標について出てくる。

放物線座標表示はLRLベクトルとの相性がよく、SO(4)対称性を理解する上で重要である。
水素様原子の放物線座標による変数分離解法.pdf - Google ドライブ


まとめ

BargmannはSO(4)対称性による水素原子の量子状態の理解を進めたが、その際放物線座標表示との関係を議論している。
次の記事では、放物線座標表示を利用したSO(4)対称性の理解についてまとめる。

リファレンス

元論文

その他

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水素様原子スペクトルに関するBargmannの議論（その１）〜 PauliとFockの解法の関係 〜

SO(4) シュレディンガー方程式 水素様原子 量子力学 超球面 球面調和関数 Laplace-Runge-Lenzベクトル リー代数 中心力ポテンシャル

水素様原子はハミルトニアンの持つ空間対称性SO(3)を超えた対称性SO(4)を持つことが知られている。
この対称性は力学的対称性と呼ばれる。（シッフの教科書 を参照）
力学的対称性を利用した解法としてはPauliの解法
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とFockの解法
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が有名である。
Pauliの解法ではLaplace-Runge-Lenzベクトルというクーロンポテンシャル特有の保存量が角運動量ベクトルとともにso(4)代数を構成することを利用していた。
一方で、Fockの解法では方程式の変換により超球面上のラプラシアン（Laplace-Beltrami演算子）の固有値問題に帰着することを利用していた。

本記事では両者の解法の関係についてのBargmannの議論を紹介する。
すなわち、Fockの解法からLRLベクトルが導出できることを示す。
水素様原子スペクトルに関するバーグマンの議論.pdf - Google ドライブ


まとめ

Fockの解法からLRLベクトルが導出できることを示すという形でPauliとFockの解法の関係性を議論した。
要するにLRLベクトル（ただし規格化したものだが）は、角運動量ベクトルと共に4次元空間の回転生成を担うのである。
この記事の続きとしては、Bargmannの議論の続き、すなわち異なる座標系でシュレディンガー方程式が分離できることについて紹介する。
すなわち、高度な縮退は二種類の座標系で分離できる事実に由来することについて議論する。

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Pauli、Fock、Bargmannの論文

この記事を書くにあたり参照する論文

その他物理関連

その他数学関連

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【図解】水素様原子のエネルギースペクトル解法（Fockの解法）について

シュレディンガー方程式 中心力ポテンシャル 水素様原子 グリーン関数 ラプラシアン 超球面 球面調和関数 フーリエ変換 ラプラス・ベルトラミ作用素 特殊関数 ゲーゲンバウアー多項式

本記事では、Fockの水素様原子に対するエネルギースペクトル解法(Pauliの方法)の図解を行う。
上記解法の詳細については以前の記事、
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を参照して欲しい。
D次元の水素様原子のエネルギースペクトルが
{\textstyle n \ge 0}として
{\displaystyle E_n = E = - \frac{1}{2} \frac{1}{\left(\frac{2n+D-1}{2}\right)^2} \frac{m_e}{\hbar^2} \left(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \right)^2 }
であり、縮重度は
{\displaystyle {}_{n+D} C_n - {}_{n+D-2} C_{n-2} }
となることを示していた。

ただし今回のノート(スライド)は積分形式の固有値方程式を解く段階で、違ったやり方、即ち帯球関数の再生核としての性質を用いている。
この方法では束縛状態の固有値が求めたものに限られることをスッキリ説明できる。
以前の記事では積分路を工夫して解を求めていた。

前半はフーリエ変換や立体射影によるシュレディンガー方程式の変形の概略、後半はグリーン関数、再生核、帯球関数の概念を利用した固有方程式解法の概略を示している。

【考察／解釈】Fockの解法.pdf - Google ドライブ


まとめと今後の展望

本記事では、Fockが提示した水素様原子に対するエネルギースペクトル解法の図解を行った。
今回出てきた帯球関数、再生核、ゲーゲンバウアー多項式については別の記事で詳しく扱う。

リファレンス

物理

数学

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超球面上の球面調和関数（その２）〜 帯球関数とゲーゲンバウアー多項式 〜

超球面 特殊関数 直交多項式 ゲーゲンバウアー多項式

本記事では球面調和関数を具体的に表すための特殊関数であるGegenbauer（ゲーゲンバウアー）多項式について説明する。
Gegenbauer多項式は球面調和関数のうち、{\textstyle SO(D) } の固定部分群によって固定される特別な関数である帯球関数（Zonal Spherical Function）を具体的に表すために用いられる。

以前の記事、

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では超球面上のLaplacian(Laplace-Beltrami演算子)の固有関数としての球面調和関数を紹介していた。
すなわち、D次元空間中の超球面 {\textstyle S^{D-1}} においては、

{\displaystyle \Delta_{S^{D-1}} Y_{n\alpha} = -n(n+D-2) Y_{n\alpha} }

が成立し、球面調和関数 {\textstyle Y_{n\alpha} } がLaplace-Beltrami演算子の固有関数となっていることを（特段の理論背景なしに）書いていた。
さらに、k次の球面調和関数がなす部分関数空間の次元が
{\displaystyle {}_{D+k-1} C_{D-1} - {}_{D+k-3} C_{D-1} }
となることも書いていた。

本記事は以下の構成になっている。

  1. Laplace-Beltrami演算子
  2. SO(D)の作用（表現論のさわり）
  3. 球面調和関数と帯球関数
  4. ゲーゲンバウアー多項式

極座標・回転群・SL(2,R) - 九州大学大学院数理学研究院というノートを主に参考にした。
単位超球面上の帯球関数とGegenbauer 多項式.pdf - Google ドライブ


まとめと今後の展望

本記事では帯球関数がGegenbauer（ゲーゲンバウアー）多項式によって書かれることを示した。

今回の記事の続編としてはSO(D)群の表現論を展開したいと考えている。（表現論のさわりは書いたつもりだが）

ゲーゲンバウア–多項式自体の性質については他の記事でも紹介して行こうと考えている。（積分表示、漸化式、ロドリゲスの公式等）
またゲーゲンバウアー多項式を含む特殊関数の一大カテゴリーである超幾何多項式についても取り扱いたい。

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主に参考にした文献

その他の文献

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